2.3 确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：(1) (1)/(z^2-1);(2) (az+b)/(cz+d) (c, d 至少有一个不为零).

我们逐题分析并解答：

题目 (1):

函数为：
$f(z) = \frac{1}{z^2 - 1}$

第一步：确定函数的定义域与奇点

我们先分析分母：
$z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1)$

当 $ z = 1 $ 或 $ z = -1 $ 时，分母为零，函数无定义。因此，这两个点是函数的奇点。

其余所有 $ z \in \mathbb{C} \setminus \{1, -1\} $ 的点，函数都有定义，且是两个解析函数（常数函数1 和 多项式 $ z^2 - 1 $）的商，只要分母不为零，商函数解析。

第二步：确定解析区域

由于分子是常数（解析），分母是多项式（在整个复平面上解析），且分母在 $ z \neq \pm1 $ 时不为零，因此商函数在
$\mathbb{C} \setminus \{1, -1\}$
上是解析的。

所以，解析区域为：
$\boxed{\mathbb{C} \setminus \{1, -1\}}$

奇点为：
$\boxed{z = 1 \quad \text{和} \quad z = -1}$

第三步：求导数

使用商的导数法则或链式法则：

$f(z) = \frac{1}{z^2 - 1} = (z^2 - 1)^{-1}$

求导：
$f'(z) = -1 \cdot (z^2 - 1)^{-2} \cdot (2z) = -\frac{2z}{(z^2 - 1)^2}$

所以导数为：
$\boxed{f'(z) = -\frac{2z}{(z^2 - 1)^2}}, \quad z \neq \pm1$

题目 (2):

函数为：
$f(z) = \frac{az + b}{cz + d}$
其中 $ c, d $ 至少有一个不为零。

第一步：确定奇点

这是一个分式线性函数（Möbius 变换）。

分母为 $ cz + d $。

当 $ cz + d = 0 $ 时，函数无定义，即：
$z = -\frac{d}{c} \quad \text{（当 } c \ne 0 \text{ 时）}$

若 $ c = 0 $，则分母为 $ d $，而题目说 $ c, d $ 至少有一个不为零，若 $ c = 0 $，则 $ d \ne 0 $，此时分母恒为 $ d \ne 0 $，函数处处有定义。

因此，分情况讨论：

• 若 $ c \ne 0 $：奇点为 $ z = -\frac{d}{c} $
• 若 $ c = 0 $：则 $ d \ne 0 $，分母为非零常数，无奇点

第二步：确定解析区域

分子 $ az + b $ 是一次多项式，解析于整个复平面。
分母 $ cz + d $ 是一次多项式（或非零常数），也解析。

商函数在分母不为零的区域解析。

因此：

• 若 $ c \ne 0 $：解析区域为 $ \mathbb{C} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\} $
• 若 $ c = 0 $：解析区域为整个复平面 $ \mathbb{C} $

综上，解析区域为：
$\boxed{ \left\{ z \in \mathbb{C} \mid cz + d \ne 0 \right\} }$

奇点为：

• 若 $ c \ne 0 $：$ \boxed{z = -\frac{d}{c}} $
• 若 $ c = 0 $：无奇点（或说没有有限奇点）

> 注：在复分析中，这类函数在无穷远点可能有奇点，但题目问的是复平面上的奇点，通常指有限奇点。

第三步：求导数

使用商的导数法则：

设：

• $ u(z) = az + b $，则 $ u'(z) = a $
• $ v(z) = cz + d $，则 $ v'(z) = c $

则：
$f'(z) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{a(cz + d) - (az + b)c}{(cz + d)^2}$

展开分子：
$a(cz + d) - c(az + b) = acz + ad - acz - bc = ad - bc$

所以导数为：
$f'(z) = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2}$

注意：这个导数在分母不为零的地方存在，即在函数的解析区域上成立。

最终结果：

导数为：
$\boxed{f'(z) = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2}}, \quad \text{当 } cz + d \ne 0$

总结答案：

(1) $ f(z) = \frac{1}{z^2 - 1} $

• 解析区域：$ \mathbb{C} \setminus \{1, -1\} $
• 奇点：$ z = 1 $, $ z = -1 $
• 导数：$ f'(z) = -\frac{2z}{(z^2 - 1)^2} $

(2) $ f(z) = \frac{az + b}{cz + d} $，其中 $ c, d $ 不全为零

• 解析区域：$ \{ z \in \mathbb{C} \mid cz + d \ne 0 \} $
• 奇点：
  • 若 $ c \ne 0 $：$ z = -\frac{d}{c} $
  • 若 $ c = 0 $：无有限奇点
• 导数：$ f'(z) = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2} $，在 $ cz + d \ne 0 $ 时成立

✅ 以上为完整解答。