题目
七、应用题(本题8分)根据经验知某种产品的使用寿命服从正态分布,标准差为150小时. 今由一批产品中随机抽查25件,计算得到平均寿命为2536小时,试问在显著性水平0.05下,能否认为这批产品的平均寿命为2500小时?并给出检验过程.( 已知_(0.025)=1.96, _(0.05)=1.645)
七、应用题(本题8分)
根据经验知某种产品的使用寿命服从正态分布,标准差为150小时. 今由一批产品中随机抽查25件,计算得到平均寿命为2536小时,试问在显著性水平0.05下,能否认为这批产品的平均寿命为2500小时?并给出检验过程.
( 已知
)
题目解答
答案
解 设产品的使用寿命
已知,由题意
需检验假设
---------------
采用
检验,取检验统计量
,
则拒绝域为
----------------
将
代入算得
,未落入拒绝域内,故接受
, ----------
即认为这批产品的平均寿命为2500小时. ----------------
解析
步骤 1：假设检验
设产品的使用寿命$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，其中$\sigma =150$已知。根据题意，需要检验假设${H}_{0}:\mu =2500$；${H}_{1}:\mu \neq 2500$。
步骤 2：选择检验统计量
采用单样本均值的检验，检验统计量为$z=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{\sigma /\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$为样本均值，${\mu }_{0}$为假设的总体均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。
步骤 3：确定拒绝域
在显著性水平$\alpha =0.05$下，双侧检验的拒绝域为$|z|>z_{\alpha/2}$，其中$z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。
步骤 4：计算检验统计量
将$n=25$，$\sigma =150$，${\mu }_{0}=2500$，$\overline {x}=2536$代入检验统计量公式，计算得到$z=|\dfrac {2536-2500}{150/\sqrt {25}}|=1.2$。
步骤 5：判断是否落入拒绝域
计算得到的$z=1.2$小于临界值$z_{0.025}=1.96$，未落入拒绝域内，因此接受原假设${H}_{0}$。
设产品的使用寿命$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，其中$\sigma =150$已知。根据题意，需要检验假设${H}_{0}:\mu =2500$；${H}_{1}:\mu \neq 2500$。
步骤 2：选择检验统计量
采用单样本均值的检验，检验统计量为$z=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{\sigma /\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$为样本均值，${\mu }_{0}$为假设的总体均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。
步骤 3：确定拒绝域
在显著性水平$\alpha =0.05$下，双侧检验的拒绝域为$|z|>z_{\alpha/2}$，其中$z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。
步骤 4：计算检验统计量
将$n=25$，$\sigma =150$，${\mu }_{0}=2500$，$\overline {x}=2536$代入检验统计量公式，计算得到$z=|\dfrac {2536-2500}{150/\sqrt {25}}|=1.2$。
步骤 5：判断是否落入拒绝域
计算得到的$z=1.2$小于临界值$z_{0.025}=1.96$，未落入拒绝域内，因此接受原假设${H}_{0}$。