P1732.设X1,X2,···,Nn为总体的一个样本,x1,x2,···,xn为一相应的样本-|||-求下列各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值.-|||-(1) f(x)= { ^-(theta +1), xgt c 0, 其他 .-|||-其中 theta gt 0 ,θ为未知参数.

步骤 1：计算总体的一阶矩
对于给定的概率密度函数 $f(x)$，我们需要计算总体的一阶矩 $a_1$。一阶矩 $a_1$ 定义为总体的期望值，即 $a_1 = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$。对于给定的 $f(x)$，我们有：
$$
a_1 = \int_{c}^{\infty} x \cdot \theta c^{\theta} x^{-(\theta + 1)} dx = \theta c^{\theta} \int_{c}^{\infty} x^{-\theta} dx
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$
a_1 = \theta c^{\theta} \left[ \frac{x^{-\theta + 1}}{-\theta + 1} \right]_{c}^{\infty} = \theta c^{\theta} \left[ \frac{c^{-\theta + 1}}{-\theta + 1} \right] = \frac{\theta c}{\theta - 1}
$$
步骤 3：求解未知参数的矩估计量
根据矩估计法，我们令样本的一阶矩等于总体的一阶矩，即 $\bar{x} = a_1$。因此，我们有：
$$
\bar{x} = \frac{\theta c}{\theta - 1}
$$
解这个方程，得到未知参数 $\theta$ 的矩估计量：
$$
\hat{\theta} = \frac{\bar{x}}{\bar{x} - c}
$$
步骤 4：计算总体的一阶矩
对于给定的概率密度函数 $f(x)$，我们需要计算总体的一阶矩 $a_1$。一阶矩 $a_1$ 定义为总体的期望值，即 $a_1 = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$。对于给定的 $f(x)$，我们有：
$$
a_1 = \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1} dx = \sqrt{\theta} \int_{0}^{1} x^{\sqrt{\theta}} dx
$$
步骤 5：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$
a_1 = \sqrt{\theta} \left[ \frac{x^{\sqrt{\theta} + 1}}{\sqrt{\theta} + 1} \right]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}
$$
步骤 6：求解未知参数的矩估计量
根据矩估计法，我们令样本的一阶矩等于总体的一阶矩，即 $\bar{x} = a_1$。因此，我们有：
$$
\bar{x} = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}
$$
解这个方程，得到未知参数 $\theta$ 的矩估计量：
$$
\hat{\theta} = \left( \frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}} \right)^2
$$