题目
【题目】设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=1，D(X)=2，D(Y)=3，求D(XY).
【题目】设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=1，D(X)=2，D(Y)=3，求D(XY).
题目解答
答案
【解析】因为随机变量X,Y相互独立所以E(XY)=E(X)E(Y)D(X)=E(X∼2)-E'2(X) D(Y)=E(Y'2)-E'2(Y) 因为E(X)=E(Y)=1,D(X)=2,D(Y)=3所以 E(X∼2)=2+1∼2=3 ,E(Y^2)=3+1^2=4所以D(XY=E[XY-E(XY)]∼2 =E[(XY)∼2-2XYE(XY)+E]^2(XY)] = E[（XY)^2 ]- E[ 2XYE(XY)]+ E[ E^2(XY)] =E[(X-1/2)]-2[2(X+2)]-2[2(X-2)]-2 (XY)=E(X∼2)E(Y∼2)-2E∼2(XY)+E^2(XY) =E(X∼2)E(Y≈2)-E(2(X)E∼2(Y) =3*4-1*1=11
解析
步骤 1：利用独立随机变量的性质
由于随机变量X和Y相互独立，我们有E(XY) = E(X)E(Y)。根据题目条件，E(X) = E(Y) = 1，因此E(XY) = 1 * 1 = 1。
步骤 2：计算D(XY)
根据方差的定义，D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2。我们需要计算E[(XY)^2]。
由于X和Y相互独立，E[(XY)^2] = E(X^2)E(Y^2)。根据方差的定义，D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，因此E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 1^2 = 3。同理，E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 3 + 1^2 = 4。因此，E[(XY)^2] = E(X^2)E(Y^2) = 3 * 4 = 12。
步骤 3：计算最终结果
将E[(XY)^2]和E(XY)的值代入D(XY)的公式中，得到D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2 = 12 - 1^2 = 11。
由于随机变量X和Y相互独立，我们有E(XY) = E(X)E(Y)。根据题目条件，E(X) = E(Y) = 1，因此E(XY) = 1 * 1 = 1。
步骤 2：计算D(XY)
根据方差的定义，D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2。我们需要计算E[(XY)^2]。
由于X和Y相互独立，E[(XY)^2] = E(X^2)E(Y^2)。根据方差的定义，D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，因此E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 1^2 = 3。同理，E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 3 + 1^2 = 4。因此，E[(XY)^2] = E(X^2)E(Y^2) = 3 * 4 = 12。
步骤 3：计算最终结果
将E[(XY)^2]和E(XY)的值代入D(XY)的公式中，得到D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2 = 12 - 1^2 = 11。