题目

3.设 _(1)sim N(1,2) ,_(2)sim N(0,3) ,_(3)sim N(2,1) ,且三个随机变量相互独立,则 (0leqslant 2(X)_(1)+3(X)_(2)--|||-_(3)leqslant 6)= __ o

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态分布随机变量的线性组合的分布性质，以及如何将线性组合的概率转化为标准正态分布的概率计算。

解题核心思路：

  1. 确定线性组合的均值和方差：利用正态分布的可加性，计算线性组合后的均值和方差。
  2. 标准化处理：将求解的概率转化为标准正态分布的概率差。
  3. 查标准正态分布表：通过标准正态分布函数Φ计算最终结果。

破题关键点：

  • 独立正态变量的线性组合仍服从正态分布，均值为各变量均值的线性组合，方差为各变量方差的平方系数加权和。
  • 正确计算均值和方差，避免符号错误或系数平方错误。
  • 标准化转换时，注意均值和标准差的对应关系。

设随机变量 $Y = 2X_1 + 3X_2 - X_3$，根据正态分布的性质：

计算均值

$E(Y) = 2E(X_1) + 3E(X_2) - E(X_3) = 2 \times 1 + 3 \times 0 - 2 = 0$

计算方差

$\begin{aligned}\text{Var}(Y) &= 2^2 \cdot \text{Var}(X_1) + 3^2 \cdot \text{Var}(X_2) + (-1)^2 \cdot \text{Var}(X_3) \\&= 4 \times 2 + 9 \times 3 + 1 \times 1 = 8 + 27 + 1 = 36\end{aligned}$

因此，$Y \sim N(0, 36)$，即均值为 $0$，标准差为 $6$。

标准化处理

求 $P(0 \leq Y \leq 6)$：
$\begin{aligned}P(0 \leq Y \leq 6) &= P\left( \frac{0 - 0}{6} \leq \frac{Y - 0}{6} \leq \frac{6 - 0}{6} \right) \\&= P(0 \leq Z \leq 1) \\&= \Phi(1) - \Phi(0)\end{aligned}$

查标准正态分布表

$\Phi(1) \approx 0.8413$，$\Phi(0) = 0.5$，因此：
$P(0 \leq Y \leq 6) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413$