[单选题] 下列方程为线性微分方程的是（）A. y'=(sin x)y+e^xB. y'=xsin y+e^xC. y'=sin x+e^yD. xy'= cos y+1

线性微分方程的判断核心在于方程中未知函数$y$及其导数$y'$的线性性。具体要求：

1. 未知函数$y$及其导数$y'$的次数均为1次；
2. $y$和$y'$前的系数仅含自变量$x$的函数，不含$y$的函数；
3. 方程中不含$y$的非线性运算（如$\sin y$、$e^y$等）。

本题需逐一分析选项是否满足上述条件。

选项分析

选项A

方程：$y' = (\sin x)y + e^x$

• 形式分析：可整理为$y' - (\sin x)y = e^x$，符合线性微分方程的标准形式$y' + P(x)y = Q(x)$。
• 结论：线性微分方程。

选项B

方程：$y' = x \sin y + e^x$

• 关键问题：右侧含$\sin y$，属于关于$y$的非线性项。
• 结论：非线性微分方程。

选项C

方程：$y' = \sin x + e^y$

• 关键问题：右侧含$e^y$，属于关于$y$的非线性项。
• 结论：非线性微分方程。

选项D

方程：$xy' = \cos y + 1$

• 关键问题：右侧含$\cos y$，属于关于$y$的非线性项。
• 结论：非线性微分方程。