题目
对于任意的随机变量X, 若其数学期望EX和方差DX都存在, 那么, 这个随机变量的取值偏离了中心达到3倍标准差以上的概率P|X-EX|geq3sqrt(DX)().A. 超过0.9974B. 不超过1/9C. 超过1-1/9D. 不超过1-0.9974
对于任意的随机变量X, 若其数学期望EX和方差DX都存在, 那么, 这个随机变量的取值偏离了中心达到3倍标准差以上的概率$P\{|X-EX|\geq3\sqrt{DX}\}$().
A. 超过0.9974
B. 不超过$1/9$
C. 超过$1-1/9$
D. 不超过$1-0.9974$
题目解答
答案
B. 不超过$1/9$
解析
步骤 1：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量 $X$，其数学期望 $EX$ 和方差 $DX$ 存在时，有 \[ P\{ |X-EX|\ge \varepsilon \} \le \frac{DX}{\varepsilon^2}. \] 这个不等式给出了随机变量偏离其期望值的概率上限。
步骤 2：代入特定值
题目中要求的是 $P\{|X-EX|\geq3\sqrt{DX}\}$，因此，我们取 $\varepsilon = 3\sqrt{DX}$，代入切比雪夫不等式中，得到 \[ P\{ |X-EX|\ge 3\sqrt{DX} \} \le \frac{DX}{(3\sqrt{DX})^2}. \]
步骤 3：简化表达式
简化上述不等式右侧的表达式，得到 \[ P\{ |X-EX|\ge 3\sqrt{DX} \} \le \frac{DX}{9DX} = \frac{1}{9}. \] 这表明，随机变量 $X$ 的取值偏离其期望值达到3倍标准差以上的概率不超过 $\frac{1}{9}$。
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量 $X$，其数学期望 $EX$ 和方差 $DX$ 存在时，有 \[ P\{ |X-EX|\ge \varepsilon \} \le \frac{DX}{\varepsilon^2}. \] 这个不等式给出了随机变量偏离其期望值的概率上限。
步骤 2：代入特定值
题目中要求的是 $P\{|X-EX|\geq3\sqrt{DX}\}$，因此，我们取 $\varepsilon = 3\sqrt{DX}$，代入切比雪夫不等式中，得到 \[ P\{ |X-EX|\ge 3\sqrt{DX} \} \le \frac{DX}{(3\sqrt{DX})^2}. \]
步骤 3：简化表达式
简化上述不等式右侧的表达式，得到 \[ P\{ |X-EX|\ge 3\sqrt{DX} \} \le \frac{DX}{9DX} = \frac{1}{9}. \] 这表明，随机变量 $X$ 的取值偏离其期望值达到3倍标准差以上的概率不超过 $\frac{1}{9}$。