8.（填空题，10.0分）已知lim_(xtoinfty)((x+2)/(x+1))^ax=e^2，则a=
题目解答
答案
将原式重写为指数形式：
$\left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{ax} = e^{ax \ln \left( \frac{x+2}{x+1} \right)}$
利用对数近似 $\ln(1+y) \approx y$（当 $y \to 0$），其中 $y = \frac{1}{x+1}$，得：
$\ln \left( \frac{x+2}{x+1} \right) = \ln \left( 1 + \frac{1}{x+1} \right) \approx \frac{1}{x+1}$
代入得：
$\lim_{x \to \infty} ax \cdot \frac{1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax}{x+1} = a$
由题意 $e^a = e^2$，解得 $a = 2$。
答案： $\boxed{2}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是涉及指数函数与自然对数的极限处理，以及利用等价无穷小替换简化表达式的能力。
解题核心思路：
- 将原式转化为自然指数形式，利用$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$的变形思想；
- 对数化简：将分数比值转化为$1 + \frac{1}{x+1}$，并应用$\ln(1+y) \approx y$（当$y \to 0$）的近似；
- 极限运算：通过代数化简求出参数$a$的值。
破题关键点：
- 识别1的∞型不定式，选择指数化简路径；
- 正确应用等价无穷小替换，将复杂对数表达式线性化；
- 极限结果与题目条件结合，建立方程求解$a$。
将原式$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{ax} = e^2$变形为自然指数形式：
$\left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{ax} = e^{ax \cdot \ln \left( \frac{x+2}{x+1} \right)}.$
步骤1：化简对数部分
当$x \to \infty$时，$\frac{x+2}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1}$，此时$\frac{1}{x+1} \to 0$。利用等价无穷小替换$\ln(1+y) \approx y$（当$y \to 0$），得：
$\ln \left( 1 + \frac{1}{x+1} \right) \approx \frac{1}{x+1}.$
步骤2：代入并计算极限
将近似结果代入指数部分：
$ax \cdot \ln \left( \frac{x+2}{x+1} \right) \approx ax \cdot \frac{1}{x+1} = \frac{ax}{x+1}.$
当$x \to \infty$时，$\frac{ax}{x+1} \approx \frac{ax}{x} = a$，因此：
$\lim_{x \to \infty} \frac{ax}{x+1} = a.$
步骤3：结合题目条件求解$a$
根据题意，原式极限为$e^2$，即：
$e^a = e^2 \implies a = 2.$