10.设X_(1),X_(2),...,X_(n)相独立且都服从N(mu,sigma^2)，则下式成立的是（）A. X_(1)=X_(2)=...=X_(n).B. (1)/(n)(X_(1)+X_(2)+...+X_(n))sim N(mu,(sigma^2)/(n)).C. 2X_(1)+3sim N(2mu+3,4sigma^2+3).D. X_(1)-X_(2)sim N(0,sigma_(1)^2-sigma_(2)^2).

本题考查正态分布的性质以及独立随机变量的线性组合的分布。解题思路是根据正态分布的性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

已知$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且都服从$N(\mu,\sigma^{2})$，相互独立意味着它们的取值是相互不受影响的，所以$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$并不一定相等，即$X_{1}=X_{2}=\cdots=X_{n}$不成立，故选项A错误。

选项B

设$Y = \frac{1}{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})$，根据期望和方差的性质：

• 期望的性质：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，$E(X_{i})=\mu$（$i = 1,2,\cdots,n$），则$E(Y)=E[\frac{1}{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})]=\frac{1}{n}E(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})$。
  由期望的线性性质$E(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})=E(X_{1}) + E(X_{2}) + \cdots + E(X_{n})$，因为$E(X_{i})=\mu$，所以$E(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})=n\mu$，则$E(Y)=\frac{1}{n}\times n\mu=\mu$。
• 方差的性质：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，$D(X_{i})=\sigma^{2}$（$i = 1,2,\cdots,n$），则$D(Y)=D[\frac{1}{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})]=\frac{1}{n^{2}}D(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})$。
  由方差的性质$D(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})=D(X_{1}) + D(X_{2}) + \cdots + D(X_{n})$，因为$D(X_{i})=\sigma^{2}$，所以$D(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})=n\sigma^{2}$，则$D(Y)=\frac{1}{n^{2}}\times n\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}$。
  又因为相互独立的正态分布的线性组合仍服从正态分布，所以$Y = \frac{1}{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n})\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，故选项B正确。

选项C

设$Z = 2X_{1}+3$，根据期望和方差的性质：

• 期望的性质：若$E(X_{1})=\mu$，则$E(Z)=E(2X_{1}+3)=2E(X_{1}) + 3 = 2\mu + 3$。
• 方差的性质：若$D(X_{1})=\sigma^{2}$，则$D(Z)=D(2X_{1}+3)=2^{2}D(X_{1}) = 4\sigma^{2}$。
  所以$2X_{1}+3\sim N(2\mu + 3,4\sigma^{2})$，而不是$N(2\mu+3,4\sigma^{2}+3)$，故选项C错误。

选项D

设$W = X_{1}-X_{2}$，根据期望和方差的性质：

• 期望的性质：若$E(X_{1})=E(X_{2})=\mu$，则$E(W)=E(X_{1}-X_{2})=E(X_{1}) - E(X_{2}) = \mu - \mu = 0$。
• 方差的性质：若$X_{1},X_{2}$相互独立，$D(X_{1})=D(X_{2})=\sigma^{2}$，则$D(W)=D(X_{1}-X_{2})=D(X_{1}) + D(X_{2}) = \sigma^{2} + \sigma^{2} = 2\sigma^{2}$。
  所以$X_{1}-X_{2}\sim N(0,2\sigma^{2})$，而不是$N(0,\sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2})$，故选项D错误。