（2024 广东 45）某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服务。按已有志愿者的数量，如果每位志愿者服务 10 位老人，则有 5 位老人无人提供服务；如果增加 2 位志愿者，则每位志愿者最多服务 8 位老人就能为所有老人提供服务。那么该社区最多有多少位独居老人？A. 50B. 55C. 60D. 65

考查要点：本题主要考查一元一次不等式的建立与求解，以及实际问题的数学建模能力。关键在于理解题目中两种服务方案的差异，并转化为数学表达式。

解题核心思路：

1. 设定变量：设原有志愿者人数为$x$，总独居老人数为$E$。
2. 根据题意列关系：
   • 第一种情况：每位志愿者服务10人，剩余5人未服务，得$E = 10x + 5$。
   • 第二种情况：增加2位志愿者后，每位最多服务8人，此时总服务能力为$8(x+2)$，需满足$E \leq 8(x+2)$。
3. 联立不等式：将$E = 10x + 5$代入第二个不等式，解出$x$的范围，最终求出$E$的最大值。

破题关键点：

• 理解“最多服务8人”的含义：此时总服务能力需覆盖所有老人，即$E \leq 8(x+2)$，而非等式关系。
• 结合不等式与整数解：志愿者人数$x$必须为整数，需取满足条件的最大整数。

步骤1：设定变量
设原有志愿者人数为$x$，总独居老人数为$E$。

步骤2：根据第一种情况列式
每位志愿者服务10人，剩余5人未服务，因此：
$E = 10x + 5$

步骤3：根据第二种情况列不等式
增加2位志愿者后，总志愿者数为$x+2$，每位最多服务8人，此时总服务能力为$8(x+2)$，需满足：
$E \leq 8(x+2)$

步骤4：联立方程与不等式
将$E = 10x + 5$代入不等式：
$10x + 5 \leq 8(x+2)$

步骤5：解不等式
展开并整理：
$10x + 5 \leq 8x + 16 \\ 2x \leq 11 \\ x \leq 5.5$
由于$x$为整数，故$x$的最大值为$5$。

步骤6：求总老人数
将$x=5$代入$E = 10x + 5$：
$E = 10 \times 5 + 5 = 55$

验证：

• 原方案：$5$位志愿者服务$5 \times 10 = 50$人，剩余$5$人，共$55$人。
• 新方案：$5+2=7$位志愿者，每人服务$55 \div 7 \approx 7.86$人，不超过$8$人，符合条件。