题目
设根据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2% (这一事件记为A_1)，损坏10% (事件A_2)，损坏90% (事件A_3)，且知P(A_1)=0.8，P(A_2)=0.15，P(A_3)=0.05。现在从已被运输的物品中随机的取3件，发现这三件都是好的(这一事件记为B)，试求P(A_1|B)，P(A_2|B)，P(A_3|B)(这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率)。
设根据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏$$2\% $$(这一事件记为$$A_1$$)，损坏$$10\% $$(事件$$A_2$$)，损坏$$90\% $$(事件$$A_3$$)，且知$$P(A_1)=0.8$$，$$P(A_2)=0.15$$，$$P(A_3)=0.05$$。现在从已被运输的物品中随机的取3件，发现这三件都是好的(这一事件记为B)，试求$$P(A_1|B)$$，$$P(A_2|B)$$，$$P(A_3|B)$$(这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率)。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算事件B的概率
根据全概率公式，事件B的概率可以表示为：
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$$
其中，$$P(B|A_1)$$，$$P(B|A_2)$$，$$P(B|A_3)$$分别表示在事件$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$发生的条件下，取出的三件物品都是好的概率。由于物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率，因此，$$P(B|A_1)$$，$$P(B|A_2)$$，$$P(B|A_3)$$分别等于$$(1-0.02)^3$$，$$(1-0.1)^3$$，$$(1-0.9)^3$$。
步骤 2：计算$$P(A_1|B)$$，$$P(A_2|B)$$，$$P(A_3|B)$$
根据贝叶斯公式，$$P(A_1|B)$$，$$P(A_2|B)$$，$$P(A_3|B)$$分别表示在事件B发生的条件下，事件$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$发生的概率。根据贝叶斯公式，有：
$$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}$$
$$P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}$$
$$P(A_3|B) = \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)}$$
根据全概率公式，事件B的概率可以表示为：
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$$
其中，$$P(B|A_1)$$，$$P(B|A_2)$$，$$P(B|A_3)$$分别表示在事件$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$发生的条件下，取出的三件物品都是好的概率。由于物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率，因此，$$P(B|A_1)$$，$$P(B|A_2)$$，$$P(B|A_3)$$分别等于$$(1-0.02)^3$$，$$(1-0.1)^3$$，$$(1-0.9)^3$$。
步骤 2：计算$$P(A_1|B)$$，$$P(A_2|B)$$，$$P(A_3|B)$$
根据贝叶斯公式，$$P(A_1|B)$$，$$P(A_2|B)$$，$$P(A_3|B)$$分别表示在事件B发生的条件下，事件$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$发生的概率。根据贝叶斯公式，有：
$$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}$$
$$P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}$$
$$P(A_3|B) = \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)}$$