题目
已知平面区域D=(x,y)mid|x|leqslant y,(x^2+y^2)^3leqslant y^4，计算二重积分iint(x+y)/(sqrt(x^2)+y^(2) )dxdy.
已知平面区域$D=\left\{(x,y)\mid\left|x\right|\leqslant y,\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}\leqslant y^{4}\right\}$，计算二重积分
$\iint\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} }dxdy$.
题目解答
答案
将区域 $D$ 转化为极坐标系，其中 $D = \{ (r, \theta) \mid \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}, 0 \leq r \leq \sin^2 \theta \}$。
原积分简化为：
\[
\iint_D \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx \, dy = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^5 \theta \, d\theta.
\]
计算得：
\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^5 \theta \, d\theta = \frac{43\sqrt{2}}{60}.
\]
因此，积分值为：
\[
\boxed{\frac{43\sqrt{2}}{120}}.
\]