题目
4、设总体X服从正态分布N(62,100),为使样本均值X大于60的概率不小于-|||-0.95,则样本容量n至少应取 __ (已知 (1)(1.64)approx 0.95)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体X服从正态分布N(62,100)，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为62，方差为$\frac{100}{n}$，即$\overline{X} \sim N(62, \frac{100}{n})$。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算$\overline{X}$大于60的概率，我们需要将$\overline{X}$标准化。标准化后的变量$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$，即$Z = \frac{\overline{X} - 62}{\sqrt{\frac{100}{n}}} = \frac{\overline{X} - 62}{\frac{10}{\sqrt{n}}}$。
步骤 3：计算概率并求解n
根据题目要求，$\overline{X}$大于60的概率不小于0.95，即$P(\overline{X} > 60) \geq 0.95$。将$\overline{X} = 60$代入标准化后的变量$Z$，得到$Z = \frac{60 - 62}{\frac{10}{\sqrt{n}}} = -\frac{2}{\frac{10}{\sqrt{n}}} = -\frac{2\sqrt{n}}{10} = -\frac{\sqrt{n}}{5}$。因此，$P(Z > -\frac{\sqrt{n}}{5}) \geq 0.95$。由于标准正态分布的对称性，$P(Z > -\frac{\sqrt{n}}{5}) = P(Z < \frac{\sqrt{n}}{5})$。根据题目给出的$\Phi(1.64) \approx 0.95$，我们有$\frac{\sqrt{n}}{5} \geq 1.64$，从而得到$\sqrt{n} \geq 1.64 \times 5 = 8.2$，即$n \geq 8.2^2 = 67.24$。因此，样本容量$n$至少应取68。
由于总体X服从正态分布N(62,100)，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为62，方差为$\frac{100}{n}$，即$\overline{X} \sim N(62, \frac{100}{n})$。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算$\overline{X}$大于60的概率，我们需要将$\overline{X}$标准化。标准化后的变量$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$，即$Z = \frac{\overline{X} - 62}{\sqrt{\frac{100}{n}}} = \frac{\overline{X} - 62}{\frac{10}{\sqrt{n}}}$。
步骤 3：计算概率并求解n
根据题目要求，$\overline{X}$大于60的概率不小于0.95，即$P(\overline{X} > 60) \geq 0.95$。将$\overline{X} = 60$代入标准化后的变量$Z$，得到$Z = \frac{60 - 62}{\frac{10}{\sqrt{n}}} = -\frac{2}{\frac{10}{\sqrt{n}}} = -\frac{2\sqrt{n}}{10} = -\frac{\sqrt{n}}{5}$。因此，$P(Z > -\frac{\sqrt{n}}{5}) \geq 0.95$。由于标准正态分布的对称性，$P(Z > -\frac{\sqrt{n}}{5}) = P(Z < \frac{\sqrt{n}}{5})$。根据题目给出的$\Phi(1.64) \approx 0.95$，我们有$\frac{\sqrt{n}}{5} \geq 1.64$，从而得到$\sqrt{n} \geq 1.64 \times 5 = 8.2$，即$n \geq 8.2^2 = 67.24$。因此，样本容量$n$至少应取68。