题目

9.设随机变量X~N(1,4)，随机变量Y~U(0,2)，且X和Y独立.令U=2X-3Y，V=X+Y.(1)求E(U),E(V),D(U),D(V);(2)求Cov(U,V),ρUV;(3)判断U和V是否独立？给出理由.

9.设随机变量X~N(1,4)，随机变量Y~U(0,2)，且X和Y独立.令U=2X-3Y，V=X+Y.(1)求E(U),E(V),D(U),D(V);(2)求Cov(U,V),ρUV;(3)判断U和V是否独立？给出理由.

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用随机变量的期望、方差、协方差和相关系数的性质。让我们一步步来解决。 ### 第一步：求 $E(U)$, $E(V)$, $D(U)$, $D(V)$ #### 期望 已知 $X \sim N(1, 4)$ 和 $Y \sim U(0, 2)$，我们有： \[E(X) = 1,\] \[E(Y) = \frac{0 + 2}{2} = 1.\] 对于 $U = 2X - 3Y$， \[E(U) = E(2X - 3Y) = 2E(X) - 3E(Y) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1.\] 对于 $V = X + Y$， \[E(V) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 1 + 1 = 2.\] #### 方差 已知 $X \sim N(1, 4)$ 和 $Y \sim U(0, 2)$，我们有： \[D(X) = 4,\] \[D(Y) = \frac{(2-0)^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.\] 对于 $U = 2X - 3Y$， \[D(U) = D(2X - 3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) = 4 \cdot 4 + 9 \cdot \frac{1}{3} = 16 + 3 = 19.\] 对于 $V = X + Y$， \[D(V) = D(X + Y) = D(X) + D(Y) = 4 + \frac{1}{3} = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}.\] ### 第二步：求 $ \text{Cov}(U, V) $ 和 $ \rho_{UV} $ 协方差 $ \text{Cov}(U, V) $ 可以计算为： \[ \text{Cov}(U, V) = \text{Cov}(2X - 3Y, X + Y) = 2 \text{Cov}(X, X + Y) - 3 \text{Cov}(Y, X + Y). \] 使用协方差的性质，我们得到： \[ \text{Cov}(X, X + Y) = \text{Cov}(X, X) + \text{Cov}(X, Y) = D(X) + 0 = 4, \] \[ \text{Cov}(Y, X + Y) = \text{Cov}(Y, X) + \text{Cov}(Y, Y) = 0 + D(Y) = \frac{1}{3}. \] 因此， \[ \text{Cov}(U, V) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 8 - 1 = 7. \] 相关系数 $ \rho_{UV} $ 可以计算为： \[ \rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sqrt{D(U)D(V)}} = \frac{7}{\sqrt{19 \cdot \frac{13}{3}}} = \frac{7}{\sqrt{\frac{247}{3}}} = \frac{7}{\frac{\sqrt{741}}{3}} = \frac{21}{\sqrt{741}} = \frac{21 \sqrt{741}}{741} = \frac{7 \sqrt{741}}{247}. \] ### 第三步：判断 $U$ 和 $V$ 是否独立 由于 $U$ 和 $V$ 是两个正态随机变量的线性组合，它们的联合分布是双变量正态分布。对于双变量正态分布，不相关性意味着独立性。然而，我们已经发现 $ \text{Cov}(U, V) = 7 \neq 0 $，所以 $U$ 和 $V$ 不是独立的。 ### 最终答案 1. $E(U) = -1$, $E(V) = 2$, $D(U) = 19$, $D(V) = \frac{13}{3}$. 2. $ \text{Cov}(U, V) = 7 $, $ \rho_{UV} = \frac{7 \sqrt{741}}{247} $. 3. $U$ 和 $V$ 不是独立的，因为它们的协方差不为零。 \[ \boxed{E(U) = -1, E(V) = 2, D(U) = 19, D(V) = \frac{13}{3}, \text{Cov}(U, V) = 7, \rho_{UV} = \frac{7 \sqrt{741}}{247}, \text{U 和 V 不是独立的}} \]

解析

考查要点：本题主要考查随机变量的线性组合的期望、方差、协方差、相关系数的计算，以及随机变量独立性的判断。

解题思路：

  1. 期望与方差：利用线性运算性质，分别计算$U$和$V$的期望；根据独立变量的方差性质，计算$U$和$V$的方差。
  2. 协方差与相关系数：通过协方差的线性性质展开计算，再结合相关系数公式求解。
  3. 独立性判断：根据协方差是否为零，结合随机变量的分布特性判断独立性。

关键点：

  • 独立变量的协方差为零，但协方差为零不能推出独立。
  • 正态变量的线性组合仍为正态变量，但本题中$Y$为均匀分布，需注意联合分布是否为正态。

第（1）题：求$E(U)$、$E(V)$、$D(U)$、$D(V)$

期望

  • $X \sim N(1,4)$，故$E(X)=1$；
  • $Y \sim U(0,2)$，故$E(Y)=\frac{0+2}{2}=1$；
  • $U=2X-3Y$，则：
    $E(U) = 2E(X) - 3E(Y) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = -1$
  • $V=X+Y$，则：
    $E(V) = E(X) + E(Y) = 1 + 1 = 2$

方差

  • $D(X)=4$，$D(Y)=\frac{(2-0)^2}{12}=\frac{1}{3}$；
  • $U=2X-3Y$，则：
    $D(U) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) = 4 \cdot 4 + 9 \cdot \frac{1}{3} = 19$
  • $V=X+Y$，因$X$与$Y$独立，协方差为零：
    $D(V) = D(X) + D(Y) = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$

第（2）题：求$\text{Cov}(U,V)$和$\rho_{UV}$

协方差

展开$\text{Cov}(U,V)$：
$\begin{aligned}\text{Cov}(U,V) &= \text{Cov}(2X-3Y, X+Y) \\&= 2\text{Cov}(X,X) + 2\text{Cov}(X,Y) - 3\text{Cov}(Y,X) - 3\text{Cov}(Y,Y) \\&= 2D(X) + 0 - 0 - 3D(Y) \\&= 2 \cdot 4 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 7\end{aligned}$

相关系数

$\rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U,V)}{\sqrt{D(U)D(V)}} = \frac{7}{\sqrt{19 \cdot \frac{13}{3}}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{247}} = \frac{7\sqrt{741}}{247}$

第（3）题：判断$U$和$V$是否独立

关键结论：
若两个随机变量独立，则它们必然不相关（协方差为零）。但本题中$\text{Cov}(U,V)=7 \neq 0$，说明$U$和$V$相关，因此不独立。