4.已知函数f(x)=(x^2-1)/(x^2)-3x+2，则x=2为( )A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点

考查要点：本题主要考查函数间断点类型的判断，涉及分式函数的化简、极限计算及间断点分类标准。

解题核心思路：

1. 分解分母，确定函数无定义的点；
2. 化简分式，观察是否可去；
3. 计算左右极限，判断极限是否存在且是否为无穷大，从而确定间断点类型。

破题关键点：

• 分母因式分解：将分母分解为$(x-1)(x-2)$，确定间断点$x=1$和$x=2$；
• 化简分式：约去公因式$(x-1)$后，分式变为$\frac{x+1}{x-2}$，此时$x=2$处分母仍为0；
• 极限分析：当$x \to 2$时，分子趋近于3，分母趋近于0，导致函数值趋向于无穷大，且左右极限符号相反。

步骤1：分解分母

将分母$x^2 - 3x + 2$分解因式：
$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$
因此，函数$f(x)$的无定义点为$x=1$和$x=2$。

步骤2：化简分式

分子$x^2 - 1$可分解为$(x-1)(x+1)$，与分母的公因式$(x-1)$约去（注意$x \neq 1$）：
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2} \quad (x \neq 1)$

步骤3：分析$x=2$处的极限

当$x \to 2$时，分母$x-2 \to 0$，分子$x+1 \to 3$，因此：

• 左极限（$x \to 2^-$）：分母趋近于$0^-$，整体趋向$-\infty$；
• 右极限（$x \to 2^+$）：分母趋近于$0^+$，整体趋向$+\infty$。

结论：左右极限均不存在且趋向于无穷大，故$x=2$为无穷间断点。