23.若极限lim_(xto0)(1+kx)^(2)/(x)=e^3，则常数k=（）.A. (3)/(2)B. -(3)/(2)C. 3D. (1)/(3)

本题考查重要极限公式$\lim_{x\to0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$的应用，解题思路是通过对给定极限式子进行变形，使其符合重要极限公式的形式，然后根据等式关系求出常数$k$的值。

1. 首先，对原式$\lim_{x\to0}(1 + kx)^{\frac{2}{x}}$进行变形：
   • 设$t = kx$，则$x=\frac{t}{k}$，当$x\to0$时，$t\to0$。
   • 原极限$\lim_{x\to0}(1 + kx)^{\frac{2}{x}}$可转化为$\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{2}{\frac{t}{k}}}$。
2. 然后，对$\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{2}{\frac{t}{k}}}$进行化简：
   • 根据指数运算法则$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$，$\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{2}{\frac{t}{k}}}=\lim_{t\to0}[(1 + t)^{\frac{1}{t}}]^{2k}$。
3. 接着，利用重要极限公式$\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$：
   • 可得$\lim_{t\to0}[(1 + t)^{\frac{1}{t}}]^{2k}=e^{2k}$。
4. 最后，根据已知条件$\lim_{x\to0}(1 + kx)^{\frac{2}{x}} = e^{3}$：
   • 即$e^{2k}=e^{3}$。
   • 因为指数函数$y = e^{x}$是单调递增函数，所以当$e^{2k}=e^{3}$时，$2k = 3$。
   • 解得$k=\frac{3}{2}$。