题目
48 已知随机变量 _(n)(n=1,2,... ) 相互独立且都在 (-1,1) 上服从均匀分布,根据-|||-独立同分布中心极限定理有 lim _(narrow infty )sum _(i=1)^n(x)_(i)leqslant sqrt (n)} 等于(结果用标准正态分布函数φ(x )表示)-|||-(A)φ(0), (B)①(1). (C) varphi (sqrt (3)), (D)φ(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算期望和方差
由于 ${X}_{n}$ 在 (-1,1) 上服从均匀分布，因此其期望 $E(X_n)$ 和方差 $D(X_n)$ 可以计算如下：
$$E(X_n) = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{1}{2} dx = 0$$
$$D(X_n) = \int_{-1}^{1} (x - E(X_n))^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{3}$$
步骤 2：应用中心极限定理
根据独立同分布中心极限定理，对于任意 $x \in R$，有：
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - nE(X_n)}{\sqrt{nD(X_n)}} \leq x\right) = \Phi(x)$$
其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数。
步骤 3：计算特定情况下的概率
将 $x = \sqrt{3}$ 代入上述公式，得到：
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n \cdot 0}{\sqrt{n \cdot \frac{1}{3}}} \leq \sqrt{3}\right) = \Phi(\sqrt{3})$$
即：
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\sum_{i=1}^{n} X_i \leq \sqrt{\frac{n}{3}} \cdot \sqrt{3}\right) = \Phi(\sqrt{3})$$
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\sum_{i=1}^{n} X_i \leq \sqrt{n}\right) = \Phi(\sqrt{3})$$
由于 ${X}_{n}$ 在 (-1,1) 上服从均匀分布，因此其期望 $E(X_n)$ 和方差 $D(X_n)$ 可以计算如下：
$$E(X_n) = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{1}{2} dx = 0$$
$$D(X_n) = \int_{-1}^{1} (x - E(X_n))^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{3}$$
步骤 2：应用中心极限定理
根据独立同分布中心极限定理，对于任意 $x \in R$，有：
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - nE(X_n)}{\sqrt{nD(X_n)}} \leq x\right) = \Phi(x)$$
其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数。
步骤 3：计算特定情况下的概率
将 $x = \sqrt{3}$ 代入上述公式，得到：
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n \cdot 0}{\sqrt{n \cdot \frac{1}{3}}} \leq \sqrt{3}\right) = \Phi(\sqrt{3})$$
即：
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\sum_{i=1}^{n} X_i \leq \sqrt{\frac{n}{3}} \cdot \sqrt{3}\right) = \Phi(\sqrt{3})$$
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\sum_{i=1}^{n} X_i \leq \sqrt{n}\right) = \Phi(\sqrt{3})$$