若在区间 (0,1) 内任取两个数，求事件 “两数之和小于 (6)/(5)” 的概率。

我们来解决这个概率问题：

题目：
在区间 $(0,1)$ 内任取两个数，求事件“两数之和小于 $\frac{6}{5}$”的概率。

第一步：理解题意

从区间 $(0,1)$ 中任取两个数，可以理解为：
设这两个数为 $x$ 和 $y$，它们是独立地在 $(0,1)$ 上均匀分布的随机变量。

我们要求的是概率：
$P\left(x + y < \frac{6}{5}\right)$
其中 $x \in (0,1)$，$y \in (0,1)$。

第二步：几何概率模型

由于 $x$ 和 $y$ 都在 $(0,1)$ 内，我们可以把所有可能的 $(x, y)$ 看作单位正方形内的点：
$(x, y) \in (0,1) \times (0,1)$
这个单位正方形的面积是 $1$。

我们要求的是满足 $x + y < \frac{6}{5} = 1.2$ 的区域在单位正方形中所占的面积（因为均匀分布，概率等于面积）。

第三步：画图分析（虽然不能画图，但可以想象）

单位正方形是左下角 $(0,0)$，右上角 $(1,1)$ 的正方形。

直线 $x + y = 1.2$ 是一条斜率为 $-1$ 的直线。

我们关心的是这条直线下方与单位正方形的交集部分的面积。

注意：$\frac{6}{5} = 1.2$，而 $x$ 和 $y$ 最大都只能是 $1$，所以 $x + y$ 最大为 $2$，但我们现在只关心小于 $1.2$ 的部分。

关键点：

• 当 $x + y = 1.2$，与正方形的边界相交于何处？

令 $x = 1$，则 $y = 0.2$；
令 $y = 1$，则 $x = 0.2$。

所以直线 $x + y = 1.2$ 从点 $(1, 0.2)$ 到 $(0.2, 1)$ 穿过正方形。

而整个单位正方形中，$x + y < 1.2$ 的区域，几乎覆盖了整个正方形，只排除了一个小的三角形区域（在右上角）。

第四步：计算满足条件的面积

我们有两种方法：

方法一：用总面积减去不满足条件的区域面积

不满足条件的区域是：
$x + y \geq 1.2, \quad x \in (0,1), y \in (0,1)$

这个区域是一个小的直角三角形，顶点为：

• $(1, 0.2)$
• $(0.2, 1)$
• 和 $(1,1)$ 吗？不对，我们来仔细看。

实际上，满足 $x + y \geq 1.2$ 且 $x \leq 1, y \leq 1$ 的区域是一个直角三角形，其三个顶点是：

• $(1, 0.2)$
• $(0.2, 1)$
• $(1,1)$

因为从 $(1, 0.2)$ 沿 $x=1$ 到 $(1,1)$，从 $(1,1)$ 沿 $y=1$ 到 $(0.2,1)$，而 $(0.2,1)$ 到 $(1,0.2)$ 是直线 $x+y=1.2$。

但其实，这个区域是由直线 $x+y=1.2$、$x=1$、$y=1$ 围成的一个直角三角形。

我们来求这个三角形的面积。

设这个三角形的三个顶点为：

• $A = (1, 0.2)$
• $B = (1,1)$
• $C = (0.2,1)$

这个三角形是直角三角形，直角在 $B = (1,1)$？不对，直角在 $(1,1)$ 吗？

从 $A(1,0.2)$ 到 $B(1,1)$ 是竖直边，长度 $0.8$；
从 $B(1,1)$ 到 $C(0.2,1)$ 是水平边，长度 $0.8$；
从 $A$ 到 $C$ 是斜边（在直线 $x+y=1.2$ 上）。

所以这个三角形是等腰直角三角形，两条直角边长都是 $1 - 0.2 = 0.8$。

所以面积为：
$\text{面积} = \frac{1}{2} \times 0.8 \times 0.8 = \frac{1}{2} \times 0.64 = 0.32$

这是不满足条件 $x + y < 1.2$ 的区域面积。

单位正方形总面积为 1，所以满足条件的面积为：
$1 - 0.32 = 0.68$

第五步：得出概率

所以事件“两数之和小于 $\frac{6}{5}$”的概率为：
$\boxed{0.68}$

也可以写成分数形式：

注意：$0.8 = \frac{4}{5}$，所以：
$\text{不满足区域面积} = \frac{1}{2} \times \left(1 - \frac{6}{5} + 1\right)^2? \quad \text{不对，重新算分数}$

我们有：

• $1.2 = \frac{6}{5}$
• $1 - 0.2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

所以两条直角边长为 $1 - (\frac{6}{5} - 1) = 2 - \frac{6}{5} = \frac{4}{5}$？不对。

更准确地说：

当 $x + y = \frac{6}{5}$，与 $x=1$ 相交时，$y = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$

同理，$x = \frac{1}{5}$ 当 $y=1$

所以交点是 $(1, \frac{1}{5})$ 和 $(\frac{1}{5}, 1)$

所以不满足区域（$x + y \geq \frac{6}{5}$）是一个直角三角形，直角边长为：

• 从 $x=1$ 上 $y=\frac{1}{5}$ 到 $y=1$：长度 $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
• 从 $y=1$ 上 $x=\frac{1}{5}$ 到 $x=1$：长度 $\frac{4}{5}$

所以面积：
$\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{25} = \frac{8}{25}$

因此，满足 $x + y < \frac{6}{5}$ 的概率为：
$1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25}$

而 $\frac{17}{25} = 0.68$，一致。

✅ 最终答案：

$\boxed{\frac{17}{25}}$

或写成小数：$\boxed{0.68}$

总结：

• 使用几何概率模型，将问题转化为单位正方形内区域面积的计算。
• 直线 $x + y = \frac{6}{5}$ 与正方形交于 $(1, \frac{1}{5})$ 和 $(\frac{1}{5}, 1)$。
• 不满足条件的区域是右上角的直角三角形，面积为 $\frac{8}{25}$。
• 所求概率为 $1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25}$。

答案： $\boxed{\dfrac{17}{25}}$