设z=(x+2y)x,则在点(1,0)处的全微分dz|(1,0)=______.正确答案:dx+2dy

步骤 1：确定函数z的表达式
给定函数为z=(x+2y)x，这是一个复合函数，其中x和y是自变量，z是因变量。

步骤 2：计算全微分dz
全微分dz可以表示为dz=$\dfrac {\partial z}{\partial x}dx+\dfrac {\partial z}{\partial y}dy$，其中$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$分别是z对x和y的偏导数。

步骤 3：计算偏导数$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$
首先，计算$\dfrac {\partial z}{\partial x}$，即对x求偏导数。由于z=(x+2y)x，可以将其视为z=μν，其中μ=x+2y，ν=x。根据链式法则，$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {\partial z}{\partial u}\cdot \dfrac {\partial u}{\partial x}+\dfrac {\partial z}{\partial v}\cdot \dfrac {\partial v}{\partial x}$。计算得$\dfrac {\partial z}{\partial x}=(νμν-1.1+μνlnμ.1)=[x(x+2y)x-1+(x+2y)xln(x+2y)]$。
然后，计算$\dfrac {\partial z}{\partial y}$，即对y求偏导数。同样地，$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {\partial z}{\partial u}\cdot \dfrac {\partial u}{\partial y}+\dfrac {\partial z}{\partial v}\cdot \dfrac {\partial v}{\partial y}$。计算得$\dfrac {\partial z}{\partial y}=(νμν-1.2+μνlnμ.0)=2x(x+2y)x-1$。

步骤 4：代入点(1,0)计算dz
将点(1,0)代入dz的表达式中，得到dz|(1,0)=[1(1+2*0)1-1+(1+2*0)1ln(1+2*0)]dx+2*1(1+2*0)1-1dy=dx+2dy。