题目

4.【2023河南】设函数y=y(x)由方程cos y=e^2x+y+x^3-y^2+3pi所确定，求(dy)/(dx).

4.【2023河南】设函数$y=y(x)$由方程$\cos y=e^{2x+y}+x^{3}-y^{2}+3\pi$所确定，求$\frac{dy}{dx}$.

题目解答

答案

设函数 $ y = y(x) $ 由方程 $\cos y = e^{2x+y} + x^3 - y^2 + 3\pi$ 确定。对等式两边关于 $ x $ 求导，得 \[ -\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{2x+y} \left(2 + \frac{dy}{dx}\right) + 3x^2 - 2y \cdot \frac{dy}{dx}. \] 整理得 \[ -\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 2e^{2x+y} + e^{2x+y} \cdot \frac{dy}{dx} + 3x^2 - 2y \cdot \frac{dy}{dx}. \] 将含 $\frac{dy}{dx}$ 的项移到一边，得 \[ \frac{dy}{dx} \left(2y - \sin y - e^{2x+y}\right) = 2e^{2x+y} + 3x^2. \] 解得 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x+y} + 3x^2}{2y - \sin y - e^{2x+y}}. \] **答案：** $\boxed{\frac{2e^{2x+y} + 3x^2}{2y - \sin y - e^{2x+y}}}$

解析

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，涉及复合函数求导法则和链式法则的使用。

解题核心思路：

  1. 对等式两边关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，使用链式法则处理含$y$的项；
  2. 将所有含$\frac{dy}{dx}$的项移到等式一侧，其余项移到另一侧；
  3. 提取$\frac{dy}{dx}$的公因子，整理后解出表达式。

破题关键点：

  • 正确应用链式法则：例如对$\cos y$求导时得到$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx}$，对$e^{2x+y}$求导时需展开指数项的导数；
  • 整理项时注意符号：移项过程中需确保符号正确，避免遗漏负号或系数错误。

对原方程$\cos y = e^{2x+y} + x^3 - y^2 + 3\pi$两边关于$x$求导：

  1. 左边求导：
    $\frac{d}{dx} (\cos y) = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}$（链式法则）。

  2. 右边逐项求导：

    • $e^{2x+y}$项：
      $\frac{d}{dx} e^{2x+y} = e^{2x+y} \cdot \left(2 + \frac{dy}{dx}\right)$（链式法则，指数部分导数为$2 + \frac{dy}{dx}$）；
    • $x^3$项：
      $\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$；
    • $-y^2$项：
      $\frac{d}{dx} (-y^2) = -2y \cdot \frac{dy}{dx}$（链式法则）；
    • $3\pi$项：
      导数为$0$。

  3. 整理方程：
    将所有含$\frac{dy}{dx}$的项移到左边，其余项移到右边：
    $-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} - e^{2x+y} \cdot \frac{dy}{dx} + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2e^{2x+y} + 3x^2$
    提取$\frac{dy}{dx}$的公因子：
    $\frac{dy}{dx} \left( -\sin y - e^{2x+y} + 2y \right) = 2e^{2x+y} + 3x^2$
    最终解得：
    $\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x+y} + 3x^2}{2y - \sin y - e^{2x+y}}$