题目

11.抛物线C的顶点是坐标原点O，焦点F的坐标为(1,1)，对称轴为直线y-x=0，求抛物线C的方程。【题目来源】(2024下·高中·教师资格考试)

题目解答

答案

设抛物线顶点为原点 $O(0,0)$，焦点 $F(1,1)$，对称轴为直线 $y = x$。

坐标变换：
旋转坐标系 $45^\circ$，使对称轴 $y = x$ 变为新坐标系的 $x'$ 轴。
变换公式：
$\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y') \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y') \end{cases}$
焦点 $F(1,1)$ 在新坐标系中为 $(\sqrt{2}, 0)$。
标准方程：
在新坐标系中，抛物线方程为 $y'^2 = 4p x'$，其中 $p = \sqrt{2}$，故方程为：
$y'^2 = 4\sqrt{2} x'$
逆变换：
将 $x'$ 和 $y'$ 代回原坐标系：
$y'^2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x) \right)^2 = \frac{1}{2}(y - x)^2$
$4\sqrt{2} x' = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y) = 4(x + y)$
得到：
$\frac{1}{2}(y - x)^2 = 4(x + y) \implies (y - x)^2 = 8(x + y)$

答案：
$\boxed{(y - x)^2 = 8(x + y)}$

解析

本题考查抛物线方程的求解，解题思路是通过坐标变换将抛物线的对称轴旋转到新坐标系的坐标轴上，利用抛物线在新坐标系下的标准方程求出方程，再通过逆变换得到原坐标系下的抛物线方程。

确定坐标变换公式：
已知要将坐标系旋转$45^{\circ}$，使对称轴$y = x$变为新坐标系的$x'$轴。根据坐标旋转公式，旋转$\theta$角度后的坐标变换公式为$\begin{cases}x = x'\cos\theta - y'\sin\theta\\y = x'\sin\theta + y'\cos\theta\end{cases}$，这里$\theta = 45^{\circ}$，$\cos45^{\circ}=\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以变换公式为$\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y') \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y') \end{cases}$。
求焦点在新坐标系下的坐标：
已知焦点$F$在原坐标系中的坐标为$(1,1)$，将$x = 1$，$y = 1$代入坐标变换公式$\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y') \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y') \end{cases}$，可得$\begin{cases}1 = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y') \\1 = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y') \end{cases}$。
将两式相加可得：$1 + 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y') + \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')$，即$2 = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y' + x' + y') = \sqrt{2}x'$，解得$x' = \sqrt{2}$。
将$x' = \sqrt{2}$代入$1 = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')$可得：$1 = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2} + y')$，即$1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}y'$，解得$y' = 0$。
所以焦点$F(1,1)$在新坐标系中为$(\sqrt{2}, 0)$。
求抛物线在新坐标系下的标准方程：
在新坐标系中，抛物线的顶点为原点$(0,0)$，焦点为$(\sqrt{2}, 0)$，对于抛物线$y'^2 = 4p x'$，其焦点坐标为$(p,0)$，所以$p = \sqrt{2}$，则抛物线在新坐标系中的方程为$y'^2 = 4\sqrt{2} x'$。
进行逆变换得到原坐标系下的方程：
由坐标变换公式$\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y') \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y') \end{cases}$，可得$\begin{cases}x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\\y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x)\end{cases}$。
将$x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)$，$y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x)$代入$y'^2 = 4\sqrt{2} x'$可得：
$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x) \right)^2 = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)$
先计算$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x) \right)^2$：
$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x) \right)^2 = \frac{2}{4}(y - x)^2 = \frac{1}{2}(y - x)^2$
再计算$4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)$：
$4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y) = 4\times\frac{2}{2}(x + y) = 4(x + y)$
所以$\frac{1}{2}(y - x)^2 = 4(x + y)$，两边同时乘以$2$得到$(y - x)^2 = 8(x + y)$。