题目
3.计算下列对坐标的曲面积分:-|||-(1) iint (x)^2(y)^2zdxdy, 其中∑是球面 ^2+(y)^2+(z)^2=(R)^2 的下半部分的下侧;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$ 的下半部分在xOy面上的投影区域 ${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {R}^{2}\} $ 。
步骤 2：确定曲面方程
在球面的下半部分，$z=-\sqrt {{R}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}$。
步骤 3：计算曲面积分
由于∑取下侧，故曲面积分变为：
${\iint }_{2}^{{\int }_{2}^{2}{y}^{2}}^{2}zdxdy=-\iint {x}_{m}{x}^{2}{y}^{2}(-\sqrt {{n}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}})dxdy$。
步骤 4：转换为极坐标
将积分区域转换为极坐标，得到：
$={\int }_{D}_{xy}{\rho }^{4}{\cos }^{2}\theta {\sin }^{2}\theta \sqrt {{R}^{2}-{p}^{2}}\rho d\rho d\theta $。
步骤 5：计算积分
$={\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {1}{4}{\sin }^{2}2\theta d\theta \cdot {\int }_{0}^{R}{p}^{5}\sqrt {{R}^{2}-{p}^{2}}d\rho $。
步骤 6：代入变量
$P=R\sin t\dfrac {\pi }{4}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{R}^{5}{\sin }^{5}t\cdot R\cos t\cdot R\cos tdt$。
步骤 7：计算最终结果
$=\dfrac {\pi }{4}{R}^{7}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}({\sin }^{5}t-{\sin }^{7}t)dt$。
$=\dfrac {\pi }{4}{R}^{7}\cdot (\dfrac {4}{5}\cdot \dfrac {2}{3}-\dfrac {6}{7}\cdot \dfrac {4}{5}\cdot \dfrac {2}{3})=\dfrac {2}{105}\pi {R}^{7}$。
球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$ 的下半部分在xOy面上的投影区域 ${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {R}^{2}\} $ 。
步骤 2：确定曲面方程
在球面的下半部分，$z=-\sqrt {{R}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}$。
步骤 3：计算曲面积分
由于∑取下侧，故曲面积分变为：
${\iint }_{2}^{{\int }_{2}^{2}{y}^{2}}^{2}zdxdy=-\iint {x}_{m}{x}^{2}{y}^{2}(-\sqrt {{n}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}})dxdy$。
步骤 4：转换为极坐标
将积分区域转换为极坐标，得到：
$={\int }_{D}_{xy}{\rho }^{4}{\cos }^{2}\theta {\sin }^{2}\theta \sqrt {{R}^{2}-{p}^{2}}\rho d\rho d\theta $。
步骤 5：计算积分
$={\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {1}{4}{\sin }^{2}2\theta d\theta \cdot {\int }_{0}^{R}{p}^{5}\sqrt {{R}^{2}-{p}^{2}}d\rho $。
步骤 6：代入变量
$P=R\sin t\dfrac {\pi }{4}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{R}^{5}{\sin }^{5}t\cdot R\cos t\cdot R\cos tdt$。
步骤 7：计算最终结果
$=\dfrac {\pi }{4}{R}^{7}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}({\sin }^{5}t-{\sin }^{7}t)dt$。
$=\dfrac {\pi }{4}{R}^{7}\cdot (\dfrac {4}{5}\cdot \dfrac {2}{3}-\dfrac {6}{7}\cdot \dfrac {4}{5}\cdot \dfrac {2}{3})=\dfrac {2}{105}\pi {R}^{7}$。