6 已知普通水稻单株产量服从正态分布,平均数 (mu )_(0)=250g ,标准差 (sigma )_(0)=2.78g 。现随机测得 10-|||-株杂交水稻单株产量分别为 272,200,268,247,267,246,363,216,206,256(g)。问该杂交-|||-水稻的单株产量与普通水稻是否有差异?

考查要点：本题主要考查均值和方差的假设检验，用于判断两个总体是否存在显著差异。需要掌握单样本Z检验（比较均值）和卡方检验/F检验（比较方差）的应用。

解题核心思路：

1. 均值比较：通过单样本Z检验，判断杂交水稻的平均产量是否与普通水稻的总体平均产量存在显著差异。
2. 方差比较：通过卡方检验或F检验，分析杂交水稻的产量稳定性（方差）是否显著高于普通水稻。

破题关键点：

• 明确总体与样本的关系：普通水稻的总体参数已知，杂交水稻为样本。
• 选择合适的检验方法：均值检验使用Z检验（总体标准差已知），方差检验使用卡方检验（样本方差与已知总体方差比较）。

1. 计算杂交水稻的样本均值与方差

• 样本均值：
  $\bar{X} = \frac{272 + 200 + 268 + 247 + 267 + 246 + 363 + 216 + 206 + 256}{10} = 254.1 \, \text{g}$
• 样本方差（无偏估计，除以$n-1$）：
  $s^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1} = \frac{19350.9}{9} \approx 2150.1 \, \text{g}^2$
  样本标准差：
  $s = \sqrt{2150.1} \approx 46.37 \, \text{g}$

2. 均值的单样本Z检验

• 检验假设：
  • 原假设$H_0$：杂交水稻平均产量与普通水稻相同（$\mu = \mu_0 = 250$）。
  • 备择假设$H_1$：杂交水稻平均产量不同（$\mu \neq \mu_0$）。
• 计算Z值：
  $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} = \frac{254.1 - 250}{2.78 / \sqrt{10}} \approx 4.67$
• 结论：Z值远大于临界值$1.96$（双侧检验，$\alpha=0.05$），拒绝$H_0$，杂交水稻平均产量显著更高。

3. 方差的卡方检验

• 检验假设：
  • 原假设$H_0$：杂交水稻方差与普通水稻相同（$\sigma^2 = \sigma_0^2 = 2.78^2$）。
  • 备择假设$H_1$：方差不同（$\sigma^2 \neq \sigma_0^2$）。
• 计算卡方统计量：
  $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{9 \times 2150.1}{2.78^2} \approx 2502.9$
• 结论：卡方值远大于临界值$16.01$（自由度$9$，$\alpha=0.05$），拒绝$H_0$，杂交水稻方差显著更大，稳定性更差。