30.函数y=((x-3)^2)/(4(x-1))的单调增区间是____，单调减区间是____，极值是____，凹区间是____，凸区间是____.

考查要点：本题主要考查函数的单调性、极值、凹凸区间的求解方法，涉及导数的计算与应用。

解题思路：

1. 求一阶导数：利用商的导数法则，确定函数的导数表达式。
2. 分析临界点与导数符号：通过解方程$y'=0$找到临界点，并结合函数定义域划分区间，判断导数在各区间的符号，确定单调性。
3. 求极值：根据导数符号的变化判断极大值或极小值。
4. 求二阶导数：分析二阶导数的符号，确定凹凸区间。

关键点：

• 导数的正确计算是基础，需注意分母的平方项和分子的展开。
• 临界点与定义域的结合：特别注意$x=1$处函数无定义，需分区间讨论。
• 二阶导数的符号判断：凹凸性由二阶导数的正负决定，注意$x=1$处的分界。

一阶导数与单调性分析

1. 求导：
   函数$y = \frac{(x-3)^2}{4(x-1)}$，应用商的导数法则：
   $y' = \frac{[2(x-3) \cdot 4(x-1) - (x-3)^2 \cdot 4]}{[4(x-1)]^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{4(x-1)^2}$

2. 临界点：
   令$y'=0$，解得$x=-1$或$x=3$；分母为零时$x=1$，函数无定义。

3. 区间划分与符号分析：

   • $(-\infty, -1]$：取$x=-2$，$y' > 0$，单调递增。
   • $[-1, 1)$：取$x=0$，$y' < 0$，单调递减。
   • $(1, 3]$：取$x=2$，$y' < 0$，单调递减。
   • $[3, +\infty)$：取$x=4$，$y' > 0$，单调递增。

极值计算

• 极大值：$x=-1$处，导数由正变负，$f(-1) = -2$。
• 极小值：$x=3$处，导数由负变正，$f(3) = 0$。

二阶导数与凹凸性分析

1. 求二阶导数：
   $y'' = \frac{2}{(x-1)^3}$

2. 符号分析：

   • $(-\infty, 1)$：$y'' < 0$，凸区间。
   • $(1, +\infty)$：$y'' > 0$，凹区间。