题目

7.设随机变量X1,X2,···,Xn,···独立同分布,且 [ (X)_(i) =1,2, ...ϕ(x)为标准正态分布函数,则 lim _(narrow infty )P dfrac {{Y)_(n)-np}(sqrt {np(1-p))}leqslant 1} = ()-|||-A、0 B、ϕ(1) C、 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_466ab55f657a09e0ba592c3ae449bf29.jpg-(1)(1) D、1

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，特别是独立同分布随机变量和的标准化形式趋近于标准正态分布的性质。

解题核心思路：

  1. 识别随机变量类型：题目中$X_i$服从伯努利分布，其和$Y_n$服从二项分布。
  2. 标准化处理：将$Y_n$的均值和方差代入中心极限定理的标准化形式，得到标准化随机变量。
  3. 极限分布判断：当$n \to \infty$时，标准化变量趋近于标准正态分布，利用标准正态分布函数求解概率。

破题关键点：

  • 正确理解$Y_n$的定义：题目中$Y_n$应为$X_1 + X_2 + \cdots + X_n$（可能存在排版错误）。
  • 应用中心极限定理：明确标准化形式$\frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$的极限分布为$N(0,1)$。

步骤1：确定$Y_n$的分布

  • $X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$，即$P(X_i=1)=p$，$P(X_i=0)=1-p$。
  • $Y_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，服从二项分布$B(n,p)$，即：
    • 均值：$E(Y_n) = np$
    • 方差：$D(Y_n) = np(1-p)$

步骤2：标准化处理

根据中心极限定理，当$n \to \infty$时，标准化变量：
$Z_n = \frac{Y_n - E(Y_n)}{\sqrt{D(Y_n)}} = \frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$
近似服从标准正态分布$N(0,1)$。

步骤3：计算极限概率

题目所求概率为：
$\lim_{n \to \infty} P\left\{ \frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq 1 \right\}$
当$n \to \infty$时，$Z_n$的分布趋近于标准正态分布，因此：
$\lim_{n \to \infty} P(Z_n \leq 1) = \Phi(1)$
其中$\Phi(x)$为标准正态分布函数。