22.（4.0分）设n阶方阵A满足A^2-A-2I_(n)=0，则必有（）A. A=2I_(n)B. A=-I_(n)C. A-I_(n)可逆D. A不可逆

本题考查方阵可逆的判定以及矩阵运算的相关知识。解题的关键思路是根据已知的矩阵方程，通过变形得到与可逆矩阵定义相关的形式，从而判断矩阵是否可逆。

已知$n$阶方阵$A$满足$A^{2}-A - 2I_{n}=0$，我们对该等式进行变形：

• 首先，将等式$A^{2}-A - 2I_{n}=0$进行因式分解，根据多项式乘法$(x - 2)(x+1)=x^{2}-x - 2$，对于矩阵有$A^{2}-A - 2I_{n}=(A - 2I_{n})(A + I_{n})=0$。
• 接着，我们要判断$A - I_{n}$是否可逆，对$A^{2}-A - 2I_{n}=0$进行如下变形：
  • $A^{2}-A=2I_{n}$，进一步变形为$A(A - I_{n})=2I_{n}$。
  • 等式两边同时乘以$\frac{1}{2}$，得到$\frac{1}{2}A(A - I_{n})=I_{n}$。
  • 根据可逆矩阵的定义：对于$n$阶方阵$M$和$N$，若$MN = I_{n}$，则$M$可逆，且$M^{-1}=N$；$N$可逆，且$N^{-1}=M$。
  • 在$\frac{1}{2}A(A - I_{n})=I_{n}$中，令$M=\frac{1}{2}A$，$N = A - I_{n}$，满足可逆矩阵的定义，所以$A - I_{n}$可逆。

对于选项A和B，由$(A - 2I_{n})(A + I_{n})=0$不能直接得出$A = 2I_{n}$或$A=-I_{n}$，因为矩阵乘法中，两个非零矩阵相乘可能为零矩阵。

对于选项D，由$A(A - I_{n})=2I_{n}$可知$\vert A(A - I_{n})\vert=\vert 2I_{n}\vert$，根据矩阵行列式的性质$\vert MN\vert=\vert M\vert\vert N\vert$，可得$\vert A\vert\vert A - I_{n}\vert=\vert 2I_{n}\vert = 2^{n}\neq0$，所以$\vert A\vert\neq0$，即$A$可逆。