题目
1.随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以mm计)74.001 74.005 74.003 74.00174.000 73.998 74.006 74.002试求总体均值μ及方差σ²的矩估计值，并求样本方差s².
1.随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以mm计)
74.001 74.005 74.003 74.001
74.000 73.998 74.006 74.002
试求总体均值μ及方差σ²的矩估计值，并求样本方差s².
题目解答
答案
1. **计算样本均值 $\overline{x}$**：
$$
\overline{x} = \frac{1}{8} \sum_{i=1}^8 x_i = \frac{592.016}{8} = 74.002
$$
**答案**：$\hat{\mu} = 74.002$
2. **计算总体方差的矩估计值 $\widehat{\sigma^2}$**：
$$
\widehat{\sigma^2} = \frac{1}{8} \sum_{i=1}^8 (x_i - \overline{x})^2 = \frac{0.000048}{8} = 6 \times 10^{-6}
$$
**答案**：$\widehat{\sigma^2} = 6 \times 10^{-6}$
3. **计算样本方差 $s^2$**：
$$
s^2 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^8 (x_i - \overline{x})^2 = \frac{0.000048}{7} \approx 6.86 \times 10^{-6}
$$
**答案**：$s^2 \approx 6.86 \times 10^{-6}$
**最终答案**：
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
\hat{\mu} = 74.002, \\
\widehat{\sigma^2} = 6 \times 10^{-6}, \\
s^2 \approx 6.86 \times 10^{-6}.
\end{array}
}
$$
解析
步骤 1：计算样本均值 $\overline{x}$
样本均值 $\overline{x}$ 是所有样本值的平均值。计算公式为：
$$ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。
步骤 2：计算总体方差的矩估计值 $\widehat{\sigma^2}$
总体方差的矩估计值 $\widehat{\sigma^2}$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值。计算公式为：
$$ \widehat{\sigma^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 $$
步骤 3：计算样本方差 $s^2$
样本方差 $s^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值，但分母是 $n-1$ 而不是 $n$。计算公式为：
$$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 $$
样本均值 $\overline{x}$ 是所有样本值的平均值。计算公式为：
$$ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。
步骤 2：计算总体方差的矩估计值 $\widehat{\sigma^2}$
总体方差的矩估计值 $\widehat{\sigma^2}$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值。计算公式为：
$$ \widehat{\sigma^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 $$
步骤 3：计算样本方差 $s^2$
样本方差 $s^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值，但分母是 $n-1$ 而不是 $n$。计算公式为：
$$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 $$