题目

6.设总体Xsim f(x;lambda)=}lambdaalpha x^alpha-1e^-lambda x^(alpha),&x>0,lambda>0未知，&xleqslant 0,)是样本，求λ的最大似然估计.

6.设总体$X\sim f(x;\lambda)=\begin{cases}\lambda\alpha x^{\alpha-1}e^{-\lambda x^{\alpha}},&x>0,\\\lambda>0未知，&x\leqslant 0,\end{cases}\alpha>0已知(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})是样本，求λ的最大似然估计.$

题目解答

答案

似然函数为： \[ L(\lambda) = \left( \lambda \alpha \right)^n \left( \prod_{i=1}^n x_i^{\alpha-1} \right) e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i^{\alpha}}. \] 取对数似然函数： \[ l(\lambda) = n \ln (\lambda \alpha) + (\alpha-1) \sum_{i=1}^n \ln x_i - \lambda \sum_{i=1}^n x_i^{\alpha}. \] 求导并令其为零： \[ \frac{\partial l(\lambda)}{\partial \lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i^{\alpha} = 0. \] 解得： \[ \lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i^{\alpha}}. \] 因此，$\lambda$ 的最大似然估计为： \[ \boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i^{\alpha}}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查最大似然估计的应用，需要根据给定的概率密度函数构造似然函数，并通过求导找到参数λ的估计值。

解题核心思路：

  1. 构造似然函数：将样本中每个观测值的概率密度相乘，得到关于λ的函数。
  2. 取对数似然函数：对似然函数取自然对数，简化求导过程。
  3. 求导并解方程：对对数似然函数关于λ求导，令导数为零，解方程得到λ的最大似然估计。

破题关键点：

  • 正确写出概率密度函数的乘积形式，注意参数λ和已知参数α的位置。
  • 对数转换后正确展开表达式，特别是处理乘积项和指数项。
  • 准确求导，尤其注意复合函数的导数处理。

构造似然函数

样本$(x_1, x_2, \dots, x_n)$独立同分布，似然函数为：
$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \lambda) = \prod_{i=1}^n \left[ \lambda \alpha x_i^{\alpha-1} e^{-\lambda x_i^\alpha} \right]$
整理得：
$L(\lambda) = (\lambda \alpha)^n \left( \prod_{i=1}^n x_i^{\alpha-1} \right) e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i^\alpha}$

取对数似然函数

对$L(\lambda)$取自然对数：
$l(\lambda) = \ln L(\lambda) = n \ln(\lambda \alpha) + (\alpha-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i - \lambda \sum_{i=1}^n x_i^\alpha$

求导并解方程

对$l(\lambda)$关于$\lambda$求导：
$\frac{\partial l}{\partial \lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i^\alpha$
令导数为零，解得：
$\frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^n x_i^\alpha \quad \Rightarrow \quad \hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i^\alpha}$