设(X_1,X_2,...,X_n)为总体N(mu,sigma^2)(mu已知)的一个样本，overline(X)为样本均值，则在总体方差sigma^2的下列估计量中，为无偏估计量的是() A hat(sigma)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2 B hat(sigma)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2 C hat(sigma)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2 D hat(sigma)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2

为了确定总体方差$\sigma^2$的无偏估计量，我们需要找到期望值等于$\sigma^2$的估计量。让我们逐步分析每个选项。 ### 选项A: $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 这是当总体均值未知时，总体方差的常见无偏估计量。然而，由于在这个问题中总体均值$\mu$已知，这个估计量不是最优的。我们可以计算它的期望值： \[ E\left[\hat{\sigma}^2\right] = E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2\right] = \frac{n}{n-1} \sigma^2 \] 由于 $E\left[\hat{\sigma}^2\right] \neq \sigma^2$，这个估计量是有偏的。 ### 选项B: $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 这是当总体均值未知时，总体方差的有偏估计量。我们可以计算它的期望值： \[ E\left[\hat{\sigma}^2\right] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2\right] = \frac{n-1}{n} \sigma^2 \] 由于 $E\left[\hat{\sigma}^2\right] \neq \sigma^2$，这个估计量是有偏的。 ### 选项C: $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$ 由于总体均值$\mu$已知，我们可以使用这个估计量。让我们计算它的期望值： \[ E\left[\hat{\sigma}^2\right] = E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2\right] = \frac{n}{n-1} \sigma^2 \] 由于 $E\left[\hat{\sigma}^2\right] \neq \sigma^2$，这个估计量是有偏的。 ### 选项D: $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$ 由于总体均值$\mu$已知，我们可以使用这个估计量。让我们计算它的期望值： \[ E\left[\hat{\sigma}^2\right] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2\right] = \sigma^2 \] 由于 $E\left[\hat{\sigma}^2\right] = \sigma^2$，这个估计量是无偏的。 因此，正确答案是 $\boxed{D}$。