题目
3.某药品有效期为3年(1095天)，现从改进配方后新生产的一批药品中任取5件留样观察，得有效期(单位:天)为1050 1100 1150 1250 1280已知该药原来的有效期X服从正态分布N(μ，50²)，试问该批药品的有效期是否确有提高？(α=0.05)
3.某药品有效期为3年(1095天)，现从改进配方后新生产的一批药品中任取5件留样观察，得有效期(单位:天)为
1050 1100 1150 1250 1280
已知该药原来的有效期X服从正态分布N(μ，50²)，试问该批药品的有效期是否确有提高？(α=0.05)
题目解答
答案
**解：**
1. **建立假设：**
$H_0: \mu \leq 1095$（有效期无提高），$H_1: \mu > 1095$（有效期有提高）。
2. **计算样本均值：**
$\overline{X} = \frac{1050 + 1100 + 1150 + 1250 + 1280}{5} = 1166$。
3. **计算检验统计量：**
$Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{1166 - 1095}{50 / \sqrt{5}} \approx 3.175$。
4. **确定拒绝域：**
对于 $\alpha = 0.05$，$Z_{0.05} \approx 1.645$，拒绝域为 $Z > 1.645$。
5. **比较统计量与临界值：**
$Z \approx 3.175 > 1.645$，拒绝 $H_0$。
6. **计算 $p$-值：**
$p\text{-值} = P(Z > 3.175) \approx 0.00076 < 0.05$。
**结论：**
拒绝 $H_0$，认为该批药品的有效期有提高。
\[
\boxed{\text{拒绝 } H_0 \text{（} P = 0.00076 \text{），该批药品的有效期有提高。}}
\]