某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车,即在7:00,7:15,7:30,…有汽车发出,如果乘客到达此汽车站的时间是在7:007:30的均匀随机变量,试求乘客在车站等候(1)不到5分钟的概率。(2)超过10分钟的概率。

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算，以及如何根据实际问题确定有效区间。

解题思路：

1. 明确发车规律：每15分钟一班车，乘客到达时间在7:00到7:30之间（即区间$[0,30]$分钟）。
2. 划分时间段：根据发车时间点（0,15,30分钟），将乘客到达时间分为两段：$[0,15)$和$[15,30)$。
3. 确定等候时间表达式：
   • 在$[0,15)$到达，等候时间为$15 - X$；
   • 在$[15,30)$到达，等候时间为$30 - X$。
4. 建立不等式求区间：根据题目要求的等候时间条件，解不等式得到有效区间，最后计算区间长度占总时间的比例。

(1) 不到5分钟的概率

1. 确定有效区间：
   • 在$[0,15)$到达：要求$15 - X < 5 \Rightarrow X > 10$，即区间$(10,15)$。
   • 在$[15,30)$到达：要求$30 - X < 5 \Rightarrow X > 25$，即区间$(25,30)$。
2. 计算概率：
   • 有效区间总长度：$5 + 5 = 10$分钟。
   • 概率：$\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$。

(2) 超过10分钟的概率

1. 确定有效区间：
   • 在$[0,15)$到达：要求$15 - X > 10 \Rightarrow X < 5$，即区间$(0,5)$。
   • 在$[15,30)$到达：要求$30 - X > 10 \Rightarrow X < 20$，即区间$(15,20)$。
2. 计算概率：
   • 有效区间总长度：$5 + 5 = 10$分钟。
   • 概率：$\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$。