1.设总体 sim N(8,36), ((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(9)) 是取自总体X的样本,X是样本均值,求-|||- |overline {X)-7|lt 2} .

考查要点：本题主要考查正态分布的样本均值分布及标准化方法的应用，需要学生掌握以下知识点：

1. 样本均值的分布特性；
2. 标准正态分布的转换与概率计算；
3. 绝对值不等式的转化技巧。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：由于总体服从正态分布，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以样本量；
2. 标准化处理：将原概率问题转化为标准正态分布下的概率计算；
3. 查表求解：利用标准正态分布表计算对应区间的概率值。

破题关键点：

• 正确计算样本均值的方差与标准差；
• 准确转化绝对值不等式为区间形式；
• 标准化过程中符号与数值的准确性。

步骤1：确定样本均值的分布
总体$X \sim N(8, 36)$，即$\mu = 8$，$\sigma^2 = 36$，$\sigma = 6$。
样本容量$n = 9$，则样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) = N\left( 8, \frac{36}{9} \right) = N(8, 4)$
即$\overline{X}$的均值为$8$，方差为$4$，标准差为$2$。

步骤2：转化绝对值不等式
原概率问题$P\{ |\overline{X} - 7| < 2 \}$可转化为：
$P\{ 5 < \overline{X} < 9 \}$

步骤3：标准化处理
将$\overline{X}$标准化为标准正态变量$Z$：
$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{\overline{X} - 8}{2}$
对应区间的端点转换为：

• 当$\overline{X} = 5$时，$Z = \frac{5 - 8}{2} = -1.5$；
• 当$\overline{X} = 9$时，$Z = \frac{9 - 8}{2} = 0.5$。

步骤4：查标准正态分布表
计算概率：
$P\{ -1.5 < Z < 0.5 \} = P\{ Z < 0.5 \} - P\{ Z < -1.5 \}$
查表得：

• $P\{ Z < 0.5 \} = 0.6915$；
• $P\{ Z < -1.5 \} = 0.0668$。
  因此：
  $P\{ -1.5 < Z < 0.5 \} = 0.6915 - 0.0668 = 0.6247$