题目
15.假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值,已知 =ln x 服从正态分-|||-布N(μ,1).-|||-(1)求X的数学期望E(X)[记E(X )为b].-|||-(2)求μ的置信水平为0.95的置信区间.-|||-(3)利用上述结果求b的置信水平为0.95的置信区间.-|||-附数据: _(0.025)=1.96.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X的数学期望E(X)
已知 $Y=\ln X$ 服从正态分布N(μ,1)，即 $Y\sim N(\mu,1)$。由于 $X={e}^{Y}$，我们需要求 $E(X)=E({e}^{Y})$。根据正态分布的性质，$E({e}^{Y})={e}^{\mu+\frac{1}{2}}$。
步骤 2：求μ的置信水平为0.95的置信区间
已知样本值为0.50,1.25,0.80,2.00，计算样本均值 $\overline{Y}=\frac{1}{4}(\ln 0.5+\ln 1.25+\ln 0.8+\ln 2)=0$。μ的置信水平为0.95的置信区间公式为 $(\overline{Y}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha}{2}},\overline{Y}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha}{2}})$，其中 $\sigma=1$，$n=4$，${u}_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$。代入计算得置信区间为 $(-\frac{1}{2}\times 1.96,\frac{1}{2}\times 1.96)$，即 $(-0.98,0.98)$。
步骤 3：求b的置信水平为0.95的置信区间
由步骤1知 $b=E(X)={e}^{\mu+\frac{1}{2}}$，由步骤2知μ的置信区间为 $(-0.98,0.98)$。因为 $e^x$ 为单调递增函数，所以b的置信区间为 $({e}^{-0.98+\frac{1}{2}},{e}^{0.98+\frac{1}{2}})$，即 $({e}^{-0.48},{e}^{1.48})$。
已知 $Y=\ln X$ 服从正态分布N(μ,1)，即 $Y\sim N(\mu,1)$。由于 $X={e}^{Y}$，我们需要求 $E(X)=E({e}^{Y})$。根据正态分布的性质，$E({e}^{Y})={e}^{\mu+\frac{1}{2}}$。
步骤 2：求μ的置信水平为0.95的置信区间
已知样本值为0.50,1.25,0.80,2.00，计算样本均值 $\overline{Y}=\frac{1}{4}(\ln 0.5+\ln 1.25+\ln 0.8+\ln 2)=0$。μ的置信水平为0.95的置信区间公式为 $(\overline{Y}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha}{2}},\overline{Y}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha}{2}})$，其中 $\sigma=1$，$n=4$，${u}_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$。代入计算得置信区间为 $(-\frac{1}{2}\times 1.96,\frac{1}{2}\times 1.96)$，即 $(-0.98,0.98)$。
步骤 3：求b的置信水平为0.95的置信区间
由步骤1知 $b=E(X)={e}^{\mu+\frac{1}{2}}$，由步骤2知μ的置信区间为 $(-0.98,0.98)$。因为 $e^x$ 为单调递增函数，所以b的置信区间为 $({e}^{-0.98+\frac{1}{2}},{e}^{0.98+\frac{1}{2}})$，即 $({e}^{-0.48},{e}^{1.48})$。