已知函数y=f(x)对一切的x满足xf”(x)+3x[f’(x)]2=1—e—x,若f’(x0)=0(x0≠0),则( )A. f(x0)是f(x)的极大值B. f(x0)是f(x)的极小值C. (x0 ,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点D. f(x0)不是f(x)的极值,(x0,f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点

考查要点：本题主要考查利用导数判断函数极值的能力，涉及二阶导数的符号分析及微分方程的应用。

解题核心思路：

1. 引入变量替换，将原方程转化为关于一阶导数的微分方程。
2. 代入条件 $f'(x_0)=0$，直接计算 $f''(x_0)$ 的表达式。
3. 分析二阶导数的符号，结合极值的第二充分条件判断极值类型。

破题关键点：

• 通过方程变形快速得到 $f''(x_0)$ 的表达式，避免求解原函数。
• 分情况讨论 $x_0$ 的正负对 $f''(x_0)$ 符号的影响，统一得出正数结论。

步骤1：变量替换简化方程
令 $y = f'(x)$，则 $f''(x) = \frac{dy}{dx}$。原方程变为：
$x \frac{dy}{dx} + 3x y^2 = 1 - e^{-x}$

步骤2：代入条件 $f'(x_0)=0$
在 $x = x_0$ 处，$y = 0$，代入方程得：
$x_0 \cdot f''(x_0) = 1 - e^{-x_0}$
解得：
$f''(x_0) = \frac{1 - e^{-x_0}}{x_0}$

步骤3：分析 $f''(x_0)$ 的符号

• 当 $x_0 > 0$ 时：
  分母 $x_0 > 0$，分子 $1 - e^{-x_0} > 0$（因 $e^{-x_0} < 1$），故 $f''(x_0) > 0$。
• 当 $x_0 < 0$ 时：
  分母 $x_0 < 0$，分子 $1 - e^{-x_0} = 1 - e^{|x_0|} < 0$（因 $e^{|x_0|} > 1$），故 $f''(x_0) > 0$。

结论：无论 $x_0$ 正负，$f''(x_0) > 0$，根据极值的第二充分条件，$x_0$ 是极小值点。