函数y=（x-2）2（x+1）{}^(2)/(3)在区间[-2，2]上的最大值是 ____ ；最小值是 ____ ．

考查要点：本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最大值和最小值。需要掌握导数的求导法则、极值点的判断以及端点值的比较。

解题核心思路：

1. 求导：对函数求导，找到导数为零的点（临界点）和导数不存在的点。
2. 分析单调性：通过导数的符号变化判断函数的单调区间，确定极值点。
3. 比较函数值：计算临界点、导数不存在的点及区间端点的函数值，比较后得出最值。

破题关键点：

• 正确求导：注意乘积法则和链式法则的应用，合并同类项简化导数表达式。
• 导数不存在的点：当分母为零时，需单独分析该点是否为极值点。
• 导数符号分析：通过分段讨论导数的正负，确定函数的增减趋势。

函数定义：$y = (x-2)^2 (x+1)^{\frac{2}{3}}$，定义域为$[-2, 2]$。

求导过程：

1. 应用乘积法则：
   $y' = 2(x-2)(x+1)^{\frac{2}{3}} + (x-2)^2 \cdot \frac{2}{3}(x+1)^{-\frac{1}{3}}$
2. 提取公因式：
   $y' = \frac{2}{3}(x-2)(x+1)^{-\frac{1}{3}} \left[ 3(x+1) + (x-2) \right]$
3. 化简分子：
   $y' = \frac{2}{3}(x-2)(4x+1)(x+1)^{-\frac{1}{3}}$

求临界点：

• 导数为零：$\frac{2}{3}(x-2)(4x+1)(x+1)^{-\frac{1}{3}} = 0$，解得$x = 2$或$x = -\frac{1}{4}$。
• 导数不存在：当$x+1 = 0$，即$x = -1$。

单调性分析：

• 区间$[-2, -1)$：$y' < 0$，函数单调递减。
• 区间$(-1, -\frac{1}{4})$：$y' > 0$，函数单调递增。
• 区间$(-\frac{1}{4}, 2]$：$y' < 0$，函数单调递减。

计算关键点函数值：

• 端点：$x = -2$时，$y = 16$；$x = 2$时，$y = 0$。
• 临界点：$x = -1$时，$y = 0$；$x = -\frac{1}{4}$时，$y \approx 4.18$（小于16）。

结论：

• 最大值：$y_{\text{max}} = 16$（在$x = -2$处）。
• 最小值：$y_{\text{min}} = 0$（在$x = -1$和$x = 2$处）。