题目
13.[填空题]随机变量X~U(0,2)，Y~b(10,0.3)，且X，Y相互独立，则D(XY) =___________
13.[填空题]
随机变量X~U(0,2)，Y~b(10,0.3)，且X，Y相互独立，则D(XY) =___________
题目解答
答案
13.解：已知随机变量X~U(0,2)，Y~b(10,0.3)，
则有
，
EY=10×0.3=3，DY=10×0.3×(1-0.3)=2.1
且X与Y相互独立，根据方差的计算性质：
由此可得：
根据随机变量X与Y相互独立，可知EXY=EXEY，
于是根据方差的计算公式可得：
进而代入数据：EXY=EXEY=1×3=3，
，
，
由此可得：
解析
步骤 1：计算随机变量X的期望和方差
随机变量X服从均匀分布U(0,2)，其期望和方差分别为：
$EX=\dfrac {(0+2)}{2}=1$，
$DX=\dfrac {1}{12}{(2-0)}^{2}=\dfrac {1}{3}$。
步骤 2：计算随机变量Y的期望和方差
随机变量Y服从二项分布b(10,0.3)，其期望和方差分别为：
$EY=10×0.3=3$，
$DY=10×0.3×(1-0.3)=2.1$。
步骤 3：利用方差的性质计算D(XY)
由于X和Y相互独立，根据方差的性质，有：
$D(XY)=E{(XY)}^{2}-{(EXY)}^{2}$。
由于X和Y相互独立，有$EXY=EXEY$，${(XY)}^{2}=E({X}^{2}{Y}^{2})=E{X}^{2}E{Y}^{2}$。
根据方差的计算公式，有${x}^{2}=DX+{(EX)}^{2}$，${EF}^{2}=DY+{(EY)}^{2}$。
代入数据，得：
$EXY=EXEY=1×3=3$，
${x}^{2}=DX+{(EX)}^{2}=\dfrac {1}{3}+{1}^{2}=\dfrac {4}{3}$，
${EF}^{2}=DY+{(EY)}^{2}=2.1+{3}^{2}=11.1$，
${(XY)}^{2}=E({X}^{2}{Y}^{2})=E{X}^{2}E{Y}^{2}=\dfrac {4}{3}\times 11.1=14.8$。
因此，$D(XY)=E{(XY)}^{2}-{(EXY)}^{2}=14.8-{3}^{2}=5.8$。
随机变量X服从均匀分布U(0,2)，其期望和方差分别为：
$EX=\dfrac {(0+2)}{2}=1$，
$DX=\dfrac {1}{12}{(2-0)}^{2}=\dfrac {1}{3}$。
步骤 2：计算随机变量Y的期望和方差
随机变量Y服从二项分布b(10,0.3)，其期望和方差分别为：
$EY=10×0.3=3$，
$DY=10×0.3×(1-0.3)=2.1$。
步骤 3：利用方差的性质计算D(XY)
由于X和Y相互独立，根据方差的性质，有：
$D(XY)=E{(XY)}^{2}-{(EXY)}^{2}$。
由于X和Y相互独立，有$EXY=EXEY$，${(XY)}^{2}=E({X}^{2}{Y}^{2})=E{X}^{2}E{Y}^{2}$。
根据方差的计算公式，有${x}^{2}=DX+{(EX)}^{2}$，${EF}^{2}=DY+{(EY)}^{2}$。
代入数据，得：
$EXY=EXEY=1×3=3$，
${x}^{2}=DX+{(EX)}^{2}=\dfrac {1}{3}+{1}^{2}=\dfrac {4}{3}$，
${EF}^{2}=DY+{(EY)}^{2}=2.1+{3}^{2}=11.1$，
${(XY)}^{2}=E({X}^{2}{Y}^{2})=E{X}^{2}E{Y}^{2}=\dfrac {4}{3}\times 11.1=14.8$。
因此，$D(XY)=E{(XY)}^{2}-{(EXY)}^{2}=14.8-{3}^{2}=5.8$。