题目
设某种新型塑料的抗压力X服从正态分布N(μ. σ2),现对4.个试验件做压力试验，得到试验数据(单位: 10MPa)， 并由此算出sum _(i=1)^4(x)_(i)=32, sum _(i=1)^4({x)_(i)}^2=268..分别求μ和σ的双侧置信水平0.90的置信区间。
设某种新型塑料的抗压力X服从正态分布N(μ. σ2),现对4.个试验件做压力试验，得到试验数据(单位: 10MPa)， 并由此算出
分别求μ和σ的双侧置信水平0.90的置信区间。
分别求μ和σ的双侧置信水平0.90的置信区间。题目解答
答案
答案：
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的数据，我们首先计算样本均值 $\overline{x}$。样本均值的计算公式为 $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，其中 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。题目中给出 $\sum_{i=1}^{4}x_i = 32$，样本数量 $n = 4$，因此 $\overline{x} = \frac{32}{4} = 8$。
步骤 2：计算样本方差
样本方差的计算公式为 $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。题目中给出 $\sum_{i=1}^{4}x_i^2 = 268$，因此 $\sum_{i=1}^{4}(x_i - \overline{x})^2 = \sum_{i=1}^{4}x_i^2 - n\overline{x}^2 = 268 - 4 \times 8^2 = 268 - 256 = 12$。因此，样本方差 $s^2 = \frac{12}{4-1} = 4$，样本标准差 $s = \sqrt{4} = 2$。
步骤 3：计算μ的置信区间
由于μ和σ^2均未知，因此μ的双侧 $1-\alpha$ 置信区间为 $[\overline{x} - s\frac{t_{1-\alpha/2}(n-1)}{\sqrt{n}}, \overline{x} + s\frac{t_{1-\alpha/2}(n-1)}{\sqrt{n}}]$。题目中给出 $1-\alpha = 0.90$，因此 $\alpha = 0.10$，$t_{1-\alpha/2}(n-1) = t_{0.95}(3)$。查表或使用统计软件得到 $t_{0.95}(3) = 3.182$。代入数据得μ的双侧0.9置信区间为 $[8 - 2\frac{3.182}{\sqrt{4}}, 8 + 2\frac{3.182}{\sqrt{4}}] = [5.6466, 10.3534]$。
步骤 4：计算σ^2的置信区间
σ^2的双侧 $1-\alpha$ 置信区间为 $[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}]$。题目中给出 $1-\alpha = 0.90$，因此 $\alpha = 0.10$，$\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) = \chi^2_{0.95}(3)$，$\chi^2_{\alpha/2}(n-1) = \chi^2_{0.05}(3)$。查表或使用统计软件得到 $\chi^2_{0.95}(3) = 0.352$，$\chi^2_{0.05}(3) = 7.815$。代入数据得σ^2的双侧0.9置信区间为 $[\frac{3 \times 4}{7.815}, \frac{3 \times 4}{0.352}] = [1.2392, 5.8404]$。
根据题目给出的数据，我们首先计算样本均值 $\overline{x}$。样本均值的计算公式为 $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，其中 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。题目中给出 $\sum_{i=1}^{4}x_i = 32$，样本数量 $n = 4$，因此 $\overline{x} = \frac{32}{4} = 8$。
步骤 2：计算样本方差
样本方差的计算公式为 $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。题目中给出 $\sum_{i=1}^{4}x_i^2 = 268$，因此 $\sum_{i=1}^{4}(x_i - \overline{x})^2 = \sum_{i=1}^{4}x_i^2 - n\overline{x}^2 = 268 - 4 \times 8^2 = 268 - 256 = 12$。因此，样本方差 $s^2 = \frac{12}{4-1} = 4$，样本标准差 $s = \sqrt{4} = 2$。
步骤 3：计算μ的置信区间
由于μ和σ^2均未知，因此μ的双侧 $1-\alpha$ 置信区间为 $[\overline{x} - s\frac{t_{1-\alpha/2}(n-1)}{\sqrt{n}}, \overline{x} + s\frac{t_{1-\alpha/2}(n-1)}{\sqrt{n}}]$。题目中给出 $1-\alpha = 0.90$，因此 $\alpha = 0.10$，$t_{1-\alpha/2}(n-1) = t_{0.95}(3)$。查表或使用统计软件得到 $t_{0.95}(3) = 3.182$。代入数据得μ的双侧0.9置信区间为 $[8 - 2\frac{3.182}{\sqrt{4}}, 8 + 2\frac{3.182}{\sqrt{4}}] = [5.6466, 10.3534]$。
步骤 4：计算σ^2的置信区间
σ^2的双侧 $1-\alpha$ 置信区间为 $[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}]$。题目中给出 $1-\alpha = 0.90$，因此 $\alpha = 0.10$，$\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) = \chi^2_{0.95}(3)$，$\chi^2_{\alpha/2}(n-1) = \chi^2_{0.05}(3)$。查表或使用统计软件得到 $\chi^2_{0.95}(3) = 0.352$，$\chi^2_{0.05}(3) = 7.815$。代入数据得σ^2的双侧0.9置信区间为 $[\frac{3 \times 4}{7.815}, \frac{3 \times 4}{0.352}] = [1.2392, 5.8404]$。