函数f(x)=xsinx_____.A. 当x→∞时为无穷大B. 在(-∞,+∞)内有界C. 在(-∞,+∞)内无界D. 当x→∞时有有限极限

考查要点：本题主要考查函数有界性及极限的判断，涉及三角函数与多项式函数的乘积特性。

解题核心思路：

1. 有界性：判断是否存在某个常数$M$，使得$|f(x)| \leq M$对所有$x$成立。
2. 极限行为：分析$x \to \infty$时函数值的变化趋势，是否趋向无穷或有限值。

破题关键点：

• $\sin x$的有界性：$\sin x \in [-1,1]$，但$x$本身无界。
• 乘积特性：当$x$增大时，若$\sin x$取到接近$\pm 1$的值，$x \sin x$的绝对值会随$x$增大而无限增长，导致函数整体无界。

选项分析：

1. 选项A（当$x \to \infty$时为无穷大）：

   • $\sin x$在$[-1,1]$间振荡，导致$x \sin x$在正负区间交替发散，无确定趋势，故错误。

2. 选项B（在$(-\infty,+\infty)$内有界）：

   • 取$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k$为整数），此时$\sin x = 1$，$f(x) = x$，当$k \to \infty$时$f(x) \to +\infty$，无界，故错误。

3. 选项C（在$(-\infty,+\infty)$内无界）：

   • 对任意常数$M > 0$，取$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$且$k > M$，则$|f(x)| = x > M$，说明函数无界，正确。

4. 选项D（当$x \to \infty$时有有限极限）：

   • 函数值振荡发散，无极限，故错误。