题目
[填空题]甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数,则X与Y的相关系数为________.
[填空题]
甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数,则X与Y的相关系数为________.
题目解答
答案
参考解析:
[解析]
由题意可知,X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示.
所以E(XY)=0.3,E(X)=E(Y)=0.5,D(X)=D(Y)=0.25,
解析
步骤 1：确定X和Y的取值
X和Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，因此X和Y的取值均为0或1。
步骤 2：计算X和Y的联合概率分布
- 当X=0时，从甲盒中取出的是白球，放入乙盒后，乙盒中有2个红球和3个白球，因此Y=0的概率为3/5，Y=1的概率为2/5。
- 当X=1时，从甲盒中取出的是红球，放入乙盒后，乙盒中有3个红球和2个白球，因此Y=0的概率为2/5，Y=1的概率为3/5。
- 由于甲盒中有2个红球和2个白球，因此X=0和X=1的概率均为1/2。
步骤 3：计算X和Y的边缘概率分布
- X=0的概率为1/2，X=1的概率为1/2。
- Y=0的概率为(1/2)*(3/5)+(1/2)*(2/5)=1/2，Y=1的概率为(1/2)*(2/5)+(1/2)*(3/5)=1/2。
步骤 4：计算X和Y的期望值和方差
- E(X)=E(Y)=0.5
- D(X)=D(Y)=0.25
步骤 5：计算X和Y的协方差
- E(XY)=0.3
- Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.3-0.25=0.05
步骤 6：计算X和Y的相关系数
- $p=\dfrac {Cov(X,Y)}{\sqrt {D(X)D(Y)}}=\dfrac {0.05}{0.25}=\dfrac {1}{5}$
X和Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，因此X和Y的取值均为0或1。
步骤 2：计算X和Y的联合概率分布
- 当X=0时，从甲盒中取出的是白球，放入乙盒后，乙盒中有2个红球和3个白球，因此Y=0的概率为3/5，Y=1的概率为2/5。
- 当X=1时，从甲盒中取出的是红球，放入乙盒后，乙盒中有3个红球和2个白球，因此Y=0的概率为2/5，Y=1的概率为3/5。
- 由于甲盒中有2个红球和2个白球，因此X=0和X=1的概率均为1/2。
步骤 3：计算X和Y的边缘概率分布
- X=0的概率为1/2，X=1的概率为1/2。
- Y=0的概率为(1/2)*(3/5)+(1/2)*(2/5)=1/2，Y=1的概率为(1/2)*(2/5)+(1/2)*(3/5)=1/2。
步骤 4：计算X和Y的期望值和方差
- E(X)=E(Y)=0.5
- D(X)=D(Y)=0.25
步骤 5：计算X和Y的协方差
- E(XY)=0.3
- Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.3-0.25=0.05
步骤 6：计算X和Y的相关系数
- $p=\dfrac {Cov(X,Y)}{\sqrt {D(X)D(Y)}}=\dfrac {0.05}{0.25}=\dfrac {1}{5}$