[填空题]甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数,则X与Y的相关系数为________.

考查要点：本题主要考查随机变量的相关系数计算，涉及联合概率分布、期望、方差及协方差的计算。

解题核心思路：

1. 确定随机变量的可能取值：X和Y均为0或1。
2. 构建联合概率分布表：根据甲盒取球后放入乙盒，再从乙盒取球的过程，计算不同情况下的概率。
3. 计算期望、方差和协方差：利用概率分布计算E(X)、E(Y)、E(XY)，再求协方差Cov(X,Y)。
4. 代入相关系数公式：相关系数ρ = Cov(X,Y) / √[D(X)D(Y)]。

破题关键点：

• 动态概率分析：甲盒取球后放入乙盒，乙盒的球数变化会影响后续取球的概率。
• 联合概率的拆分：根据甲盒取球结果（红或白），分情况计算乙盒取球的概率。

步骤1：确定联合概率分布

1. 甲盒取球：

   • X=1（取到红球）的概率为$\frac{2}{4}=0.5$，此时乙盒变为3红2白（共5球）。
   • X=0（取到白球）的概率为$0.5$，此时乙盒变为2红3白（共5球）。

2. 乙盒取球：

   • 若X=1，则Y=1的概率为$\frac{3}{5}$，Y=0的概率为$\frac{2}{5}$。
   • 若X=0，则Y=1的概率为$\frac{2}{5}$，Y=0的概率为$\frac{3}{5}$。

3. 联合概率计算：

   • $P(X=1,Y=1) = 0.5 \times \frac{3}{5} = 0.3$
   • $P(X=1,Y=0) = 0.5 \times \frac{2}{5} = 0.2$
   • $P(X=0,Y=1) = 0.5 \times \frac{2}{5} = 0.2$
   • $P(X=0,Y=0) = 0.5 \times \frac{3}{5} = 0.3$

步骤2：计算期望与方差

1. 期望：

   • $E(X) = 1 \times 0.5 + 0 \times 0.5 = 0.5$
   • $E(Y) = 1 \times 0.5 + 0 \times 0.5 = 0.5$
   • $E(XY) = 1 \times 1 \times 0.3 + 0 = 0.3$

2. 方差：

   • $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25$
   • $D(Y) = D(X) = 0.25$

步骤3：计算相关系数

1. 协方差：
   $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.3 - 0.5 \times 0.5 = 0.05$

2. 相关系数：
   $\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = \frac{0.05}{\sqrt{0.25 \times 0.25}} = \frac{0.05}{0.25} = \frac{1}{5}$