题目
D: leqslant xleqslant 2,0leqslant yleqslant 2 ,计算I=-|||-=(iint )_(D)[ 1+x+y] dxdy ,其中 [ 1+x+y] 表示不超过 1+x+y-|||-的最大整数.
题目解答
答案
本题考查二重积分的计算，根据定积分的几何意义，计算出积分值。
$I={\iint }_{D}{L}_{D}[ 1+x+y] dxdy$
$=\int \limits_{0}^{2}dx\int \limits_{0}^{2}[ 1+x+y] dy$
$=\int \limits_{0}^{2}[ x+xy+y+\dfrac{1}{2}y{}^{2}]dx$
$=\int \limits_{0}^{2}[ 2x+x{}^{2}+2x+\dfrac{1}{2}x{}^{2}]dx$
$=\int \limits_{0}^{2}\dfrac{5}{2}x{}^{2}dx$
$=\dfrac{5}{2}\times \dfrac{1}{3}{x}^{3}\left. \right\vert {}_{0}^{2}$
$=\dfrac{20}{3}$
$I={\iint }_{D}{L}_{D}[ 1+x+y] dxdy$
$=\int \limits_{0}^{2}dx\int \limits_{0}^{2}[ 1+x+y] dy$
$=\int \limits_{0}^{2}[ x+xy+y+\dfrac{1}{2}y{}^{2}]dx$
$=\int \limits_{0}^{2}[ 2x+x{}^{2}+2x+\dfrac{1}{2}x{}^{2}]dx$
$=\int \limits_{0}^{2}\dfrac{5}{2}x{}^{2}dx$
$=\dfrac{5}{2}\times \dfrac{1}{3}{x}^{3}\left. \right\vert {}_{0}^{2}$
$=\dfrac{20}{3}$
解析
步骤 1：确定积分区域
$D$ 是由 $0\leqslant x\leqslant 2$ 和 $0\leqslant y\leqslant 2$ 定义的矩形区域，因此 $D$ 是一个边长为2的正方形。
步骤 2：理解 $[1+x+y]$ 的含义
$[1+x+y]$ 表示不超过 $1+x+y$ 的最大整数。在 $D$ 区域内，$1+x+y$ 的值从 $1$ 到 $5$ 变化，因此 $[1+x+y]$ 的值为 $1, 2, 3, 4$。
步骤 3：计算二重积分
$I={\iint }_{D}[ 1+x+y] dxdy$ 可以通过将 $D$ 分成几个子区域来计算，每个子区域对应 $[1+x+y]$ 的一个特定值。然后，对每个子区域进行积分并求和。
步骤 4：计算每个子区域的积分
- 当 $1\leqslant 1+x+y<2$ 时，$[1+x+y]=1$，对应的区域是 $0\leqslant x\leqslant 1$ 和 $0\leqslant y\leqslant 1-x$，积分值为 $\int \limits_{0}^{1}dx\int \limits_{0}^{1-x}1dy$。
- 当 $2\leqslant 1+x+y<3$ 时，$[1+x+y]=2$，对应的区域是 $0\leqslant x\leqslant 1$ 和 $1-x\leqslant y\leqslant 2-x$，积分值为 $\int \limits_{0}^{1}dx\int \limits_{1-x}^{2-x}2dy$。
- 当 $3\leqslant 1+x+y<4$ 时，$[1+x+y]=3$，对应的区域是 $1\leqslant x\leqslant 2$ 和 $0\leqslant y\leqslant 2-x$，积分值为 $\int \limits_{1}^{2}dx\int \limits_{0}^{2-x}3dy$。
- 当 $4\leqslant 1+x+y\leqslant 5$ 时，$[1+x+y]=4$，对应的区域是 $1\leqslant x\leqslant 2$ 和 $2-x\leqslant y\leqslant 2$，积分值为 $\int \limits_{1}^{2}dx\int \limits_{2-x}^{2}4dy$。
步骤 5：求和
将每个子区域的积分值相加，得到最终的积分值。
$D$ 是由 $0\leqslant x\leqslant 2$ 和 $0\leqslant y\leqslant 2$ 定义的矩形区域，因此 $D$ 是一个边长为2的正方形。
步骤 2：理解 $[1+x+y]$ 的含义
$[1+x+y]$ 表示不超过 $1+x+y$ 的最大整数。在 $D$ 区域内，$1+x+y$ 的值从 $1$ 到 $5$ 变化，因此 $[1+x+y]$ 的值为 $1, 2, 3, 4$。
步骤 3：计算二重积分
$I={\iint }_{D}[ 1+x+y] dxdy$ 可以通过将 $D$ 分成几个子区域来计算，每个子区域对应 $[1+x+y]$ 的一个特定值。然后，对每个子区域进行积分并求和。
步骤 4：计算每个子区域的积分
- 当 $1\leqslant 1+x+y<2$ 时，$[1+x+y]=1$，对应的区域是 $0\leqslant x\leqslant 1$ 和 $0\leqslant y\leqslant 1-x$，积分值为 $\int \limits_{0}^{1}dx\int \limits_{0}^{1-x}1dy$。
- 当 $2\leqslant 1+x+y<3$ 时，$[1+x+y]=2$，对应的区域是 $0\leqslant x\leqslant 1$ 和 $1-x\leqslant y\leqslant 2-x$，积分值为 $\int \limits_{0}^{1}dx\int \limits_{1-x}^{2-x}2dy$。
- 当 $3\leqslant 1+x+y<4$ 时，$[1+x+y]=3$，对应的区域是 $1\leqslant x\leqslant 2$ 和 $0\leqslant y\leqslant 2-x$，积分值为 $\int \limits_{1}^{2}dx\int \limits_{0}^{2-x}3dy$。
- 当 $4\leqslant 1+x+y\leqslant 5$ 时，$[1+x+y]=4$，对应的区域是 $1\leqslant x\leqslant 2$ 和 $2-x\leqslant y\leqslant 2$，积分值为 $\int \limits_{1}^{2}dx\int \limits_{2-x}^{2}4dy$。
步骤 5：求和
将每个子区域的积分值相加，得到最终的积分值。