题目

29.填空题若X与Y相互独立，则cov(X,Y)=_____.

题目解答

答案

要确定两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差，我们需要使用协方差的定义和独立随机变量的性质。两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差定义为： \[ \text{cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \] 其中 $E[X]$ 和 $E[Y]$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的期望值。根据期望的性质，我们可以将协方差重写为： \[ \text{cov}(X, Y) = E[XY - XE[Y] - E[X]Y + E[X]E[Y]] \] 利用期望的线性性质，我们可以将这个表达式分解为： \[ \text{cov}(X, Y) = E[XY] - E[XE[Y]] - E[E[X]Y] + E[E[X]E[Y]] \] 由于 $E[X]$ 和 $E[Y]$ 是常数，我们可以将它们从期望中提取出来： \[ \text{cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] - E[X]E[Y] + E[X]E[Y] \] 简化这个表达式，我们得到： \[ \text{cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] \] 现在，如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，那么根据独立随机变量的性质，它们的乘积的期望等于它们的期望的乘积。也就是说： \[ E[XY] = E[X]E[Y] \] 将这个结果代入协方差的表达式中，我们得到： \[ \text{cov}(X, Y) = E[X]E[Y] - E[X]E[Y] = 0 \] 因此，如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，那么它们的协方差为： \[ \boxed{0} \]

解析

协方差是衡量两个随机变量之间线性相关程度的指标。当两个随机变量相互独立时，它们的协方差必然为零。这是因为独立变量的乘积期望等于各自期望的乘积，导致协方差公式中的两项相互抵消。本题的关键在于理解独立性与协方差的关系，并直接应用这一性质得出结论。

协方差的定义为：
$\text{cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]$
展开后可得：
$\text{cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$
当$X$与$Y$相互独立时，根据独立随机变量的性质，有：
$E[XY] = E[X]E[Y]$
将其代入协方差公式：
$\text{cov}(X, Y) = E[X]E[Y] - E[X]E[Y] = 0$