题目
下列说法错误的是( )A.若行列式中有一行元素全为零,则行列式为零 B.若行列式中某两行元素对应成比例,则行列式为零 C.若行列式与自身的转置行列式相等,则行列式为零 D.若行列式中某一行元素是另外两行元素之和,则行列式为零
下列说法错误的是( )
A.若行列式中有一行元素全为零,则行列式为零
B.若行列式中某两行元素对应成比例,则行列式为零
C.若行列式与自身的转置行列式相等,则行列式为零
D.若行列式中某一行元素是另外两行元素之和,则行列式为零
题目解答
答案
首先根据题干可得:根据行列式的性质可以知道:行列式中有一行元素全为零,则行列式为零,如:
,则
,行列式中某两行元素对应成比例,则行列式为零,如:
,将第一行的-2倍加到第二行可得:
,行列式中某一行元素是另外两行元素之和,则行列式为零,如:
,可以发现第三行是第一行与第二行元素之和,将第一行加到第二行可得:
,这样第二行和第三行成比例,所以
,所以本题选
解析
本题考查行列式的性质,需判断四个选项中哪一个是错误的。关键点在于:
- 行列式为零的条件:某行全零、两行成比例、某行是其他两行之和;
- 行列式与转置行列式的关系:行列式与其转置的值相等,但并不必然为零。
错误选项C的逻辑错误在于将“行列式等于转置行列式”与“行列式为零”直接关联,而实际上前者是普遍成立的,与行列式的值无关。
选项A
若行列式中有一行全为零,则行列式为零。
正确。行列式展开时,该行元素均为零,所有项均为零,故行列式为零。
选项B
若行列式中某两行对应成比例,则行列式为零。
正确。两行成比例说明线性相关,行列式必为零。
选项C
若行列式与自身的转置行列式相等,则行列式为零。
错误。行列式与其转置的值始终相等(即$\det(A) = \det(A^T)$),但行列式的值可以是任意数(如单位矩阵的行列式为1)。因此该命题不成立。
选项D
若行列式中某一行是另外两行之和,则行列式为零。
正确。通过行变换可使某行变为全零,从而行列式为零。