题目
设X_1, X_2, ..., X_n是来自总体X sim N(mu, sigma^2)的一个样本，mu, sigma^2都是未知参数，样本均值overline(X)，样本方差S^2，那么sigma^2的无偏估计是(）.A. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X) )^2B. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n X_iC. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_iD. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X) )^2
设$X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的一个样本，$\mu, \sigma^2$都是未知参数，样本均值$\overline{X}$，样本方差$S^2$，那么$\sigma^2$的无偏估计是(）.
A. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \overline{X} \right)^2$
B. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i$
C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
D. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \overline{X} \right)^2$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \overline{X} \right)^2$
解析
步骤 1：理解样本方差的定义
样本方差 $S^2$ 定义为 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$X_i$ 是样本观测值，$n$ 是样本大小。样本方差是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计，即 $E[S^2] = \sigma^2$。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 对应样本方差的定义，满足无偏性，即 $E[S^2] = \sigma^2$。
步骤 3：分析选项 B、C
选项 B、C 分别为样本均值的倍数，期望值为 $\mu$ 的倍数，非 $\sigma^2$。
步骤 4：分析选项 D
选项 D 分母为 $n$，期望值为 $\frac{n-1}{n}\sigma^2$，有偏。
样本方差 $S^2$ 定义为 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$X_i$ 是样本观测值，$n$ 是样本大小。样本方差是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计，即 $E[S^2] = \sigma^2$。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 对应样本方差的定义，满足无偏性，即 $E[S^2] = \sigma^2$。
步骤 3：分析选项 B、C
选项 B、C 分别为样本均值的倍数，期望值为 $\mu$ 的倍数，非 $\sigma^2$。
步骤 4：分析选项 D
选项 D 分母为 $n$，期望值为 $\frac{n-1}{n}\sigma^2$，有偏。