已知椭圆C：(y^2)/(a^2)+(x^2)/(b^2)=1（a＞b＞0）的离心率是(sqrt(5))/(3)，点A（-2，0）在C上．（1）求C的方程；（2）过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．

考查要点：本题主要考查椭圆的标准方程、离心率的计算，以及直线与椭圆的位置关系、定点问题的证明方法。

解题思路：

1. 第一问：利用椭圆离心率公式和已知点坐标，联立方程求解$a$和$b$的值，确定椭圆方程。
2. 第二问：通过设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示交点坐标关系，求出直线AP、AQ与y轴的交点M、N，最后通过代数运算证明MN的中点坐标为定值。

破题关键：

• 第一问的关键是离心率公式和点坐标代入椭圆方程，直接解出$a$和$b$。
• 第二问需设直线方程，通过联立椭圆方程得到根与系数关系，构造M、N的坐标表达式，最终化简中点坐标表达式，发现其与参数无关。

第（1）题

1. 离心率与椭圆方程关系
   由离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$，得$c = \frac{\sqrt{5}}{3}a$，且$c^2 = a^2 - b^2$。

2. 代入点A坐标求$b$
   点$A(-2, 0)$在椭圆上，代入方程得$\frac{(-2)^2}{b^2} + \frac{0^2}{a^2} = 1$，解得$b^2 = 4$，即$b = 2$。

3. 联立方程求$a$
   由$c^2 = a^2 - b^2$，代入$c = \frac{\sqrt{5}}{3}a$得：
   $\left(\frac{\sqrt{5}}{3}a\right)^2 = a^2 - 4 \implies \frac{5}{9}a^2 = a^2 - 4 \implies a^2 = 9 \implies a = 3.$

4. 椭圆方程
   综上，椭圆方程为$\frac{y^2}{9} + \frac{x^2}{4} = 1$。

第（2）题

1. 设直线方程
   过点$(-2, 3)$的直线方程设为$y = k(x + 2) + 3$，与椭圆联立：
   $\frac{[k(x + 2) + 3]^2}{9} + \frac{x^2}{4} = 1.$

2. 联立化简
   展开整理得：
   $(4k^2 + 9)x^2 + 8k(2k + 3)x + 16(k^2 + 3k) = 0.$

3. 韦达定理
   设根为$x_1, x_2$，则：
   $x_1 + x_2 = -\frac{8k(2k + 3)}{4k^2 + 9}, \quad x_1x_2 = \frac{16(k^2 + 3k)}{4k^2 + 9}.$

4. 求M、N坐标

   • 直线AP的方程为$y = \frac{y_1}{x_1 + 2}(x + 2)$，令$x = 0$得$M(0, \frac{2y_1}{x_1 + 2})$。
   • 同理，$N(0, \frac{2y_2}{x_2 + 2})$。

5. 中点坐标化简
   中点纵坐标为：
   $\frac{\frac{2y_1}{x_1 + 2} + \frac{2y_2}{x_2 + 2}}{2} = \frac{[k(x_1 + 2) + 3](x_2 + 2) + [k(x_2 + 2) + 3](x_1 + 2)}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}.$
   代入$y_1 = k(x_1 + 2) + 3$，展开后分子分母分别代入韦达定理的结果，最终化简得$3$，故中点为$(0, 3)$。