3、(12分)设总体ξ有分布密度p(x)=}theta x^theta-1&0le xle 10&其他其中theta>0是待估参数，(0.11，0.24，0.09，0.43，0.07，0.38)为样本(xi_(1)，xi_(2)，...，xi_(6))的样本值，试求theta的矩估计量以及相应的矩估计值与最大似然估计。

为了找到参数$\theta$的矩估计量和最大似然估计，我们将按照以下步骤进行： ### 第1步：矩估计 矩估计涉及将总体矩与样本矩相等。对于给定的密度函数 $ p(x) = \theta x^{\theta-1} $ 对于 $0 \le x \le 1$，总体的期望值（第一矩）为： \[ E(X) = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1} \, dx = \int_0^1 \theta x^\theta \, dx = \theta \left[ \frac{x^{\theta+1}}{\theta+1} \right]_0^1 = \frac{\theta}{\theta+1} \] 样本均值 $\bar{X}$ 是样本值的平均值： \[ \bar{X} = \frac{1}{6} (0.11 + 0.24 + 0.09 + 0.43 + 0.07 + 0.38) = \frac{1}{6} \times 1.32 = 0.22 \] 将总体均值与样本均值相等，我们得到： \[ \frac{\theta}{\theta+1} = 0.22 \] 解$\theta$： \[ \theta = 0.22(\theta + 1) \implies \theta = 0.22\theta + 0.22 \implies \theta - 0.22\theta = 0.22 \implies 0.78\theta = 0.22 \implies \theta = \frac{0.22}{0.78} = \frac{11}{39} \] 因此，$\theta$的矩估计值为： \[ \boxed{\frac{11}{39}} \] ### 第2步：最大似然估计 最大似然估计涉及最大化似然函数。似然函数 $L(\theta)$ 为： \[ L(\theta) = \prod_{i=1}^6 \theta x_i^{\theta-1} = \theta^6 \prod_{i=1}^6 x_i^{\theta-1} \] 取自然对数似然函数： \[ \ell(\theta) = \ln L(\theta) = 6 \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^6 \ln x_i \] 计算对数似然函数的导数并设为零： \[ \frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{6}{\theta} + \sum_{i=1}^6 \ln x_i = 0 \] 解$\theta$： \[ \frac{6}{\theta} = -\sum_{i=1}^6 \ln x_i \implies \theta = -\frac{6}{\sum_{i=1}^6 \ln x_i} \] 计算 $\sum_{i=1}^6 \ln x_i$： \[ \ln 0.11 \approx -2.20357, \quad \ln 0.24 \approx -1.42712, \quad \ln 0.09 \approx -2.40794, \quad \ln 0.43 \approx -0.84397, \quad \ln 0.07 \approx -2.65926, \quad \ln 0.38 \approx -0.96758 \] \[ \sum_{i=1}^6 \ln x_i \approx -2.20357 - 1.42712 - 2.40794 - 0.84397 - 2.65926 - 0.96758 = -10.50944 \] 因此，$\theta$的最大似然估计值为： \[ \theta = -\frac{6}{-10.50944} \approx 0.57096 \] 因此，$\theta$的最大似然估计值为： \[ \boxed{0.57096} \]