第三章 随机过程3-1.何谓随机过程?它具有什么特点?何谓随机过程?它具有什么特点?随时间作随机变化的过程,不能用确切的时间函数描述。可看成样本函数的集合或者不同时刻随机变量的集合。3-2.随机过程的数字特征主要有哪些?分别表征随机过程的什么特征?(1)数学期望:表示随机过程n个样本函数的摆动中心。(2)方差:表示随机过程在时刻t相对于平均值的偏离程度。(3)相关函数:衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。3-3.何谓严平稳?何谓广义平稳?它们之间的关系如何?严平稳随机过程:一个随机过程的任意有限维分布函数与时间起点无关。广义平稳过程:满足以下两个条件的随机过程:随机过程的均值与时间无关,为常数。自相关函数只与时间间隔有关。严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立。3-4.平稳随机过程的自相关函数具有哪些性质?它与功率谱密度的关系如何?
第三章 随机过程
3-1.何谓随机过程?它具有什么特点?
何谓随机过程?它具有什么特点?
随时间作随机变化的过程,不能用确切的时间函数描述。可看成样本函数的集合或者不同时刻随机变量的集合。
3-2.随机过程的数字特征主要有哪些?分别表征随机过程的什么特征?
(1)数学期望:表示随机过程n个样本函数的摆动中心。
(2)方差:表示随机过程在时刻t相对于平均值的偏离程度。
(3)相关函数:衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
3-3.何谓严平稳?何谓广义平稳?它们之间的关系如何?
严平稳随机过程:一个随机过程的任意有限维分布函数与时间起点无关。
广义平稳过程:满足以下两个条件的随机过程:随机过程的均值与时间无关,为常数。自相关函数只与时间间隔有关。
严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立。
3-4.平稳随机过程的自相关函数具有哪些性质?它与功率谱密度的关系如何?
题目解答
答案
答:平稳随机过程的自相关函数与时间起点无关,只与时间间隔有关,而且是偶函数。
平稳随机过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变换关系。
3-5.什么是高斯过程?其主要性质有哪些?
随机过程的任意有限维分布均服从正态(高斯)分布,则称为正态(高斯)过程。 高斯过程的主要性质有:
(1)对于高斯过程,只需要研究其数字特征即可。
(2)广义平稳的高斯过程也是严平稳的。
(3)高斯过程经过线性系统后的输出仍是高斯过程。
3-7. 随机过程通过线性系统时,输入与输出功率谱密度的关系如何?如何求输出过程的均值、自相关函数?
输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。
输出过程的均值等于输入过程的均值乘以H(0)。
输出过程的自相关函数等于输出过程的功率谱密度的傅里叶逆变换。
3-9窄带高斯过程的包络和相位分别服从什么概率分布?
一个均值为0 、方差为σ2的窄带高斯噪声,其包络aζ(t)的一位分布式瑞利分布,相位ψζ(t)的一维分布式均匀分布,并且就一维分布而言,aζ(t)与ψξ(t)是统计独立的。
3-10.窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何?
一个均值为0的窄带平稳高斯过程,其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程,均值也为0,方程也相同。在同一时刻二者是统计独立的。
3-13.何为高斯白噪声?它的概率密度函数、功率频谱密度如何表示?
答:如果白噪声取值的概率密度分布服从高斯分布,则称之为高斯白噪声,其概率密度函数为高斯函数,其功率谱密度为常数。
3-14..不相关、统计独立、正交的含义各是什么?他们之间的关系如何?
答:如果两个随机变量的协方差函数为零,则称他们不相关;如果两个随机变量的联合概率密度等于它们各自概率密度的乘积,则称他们统计独立。如果两个随机变量的互相关函数为零,则称他们正交。两个均值为零的随机变量如果统计独立,则一定是正交及不相关;两个均值为零的随机变量正交与不相关等价。
解析
平稳随机过程的自相关函数具有以下性质：
- 自相关函数只与时间间隔有关，与时间起点无关。
- 自相关函数是偶函数，即 \(R_{xx}(\tau) = R_{xx}(-\tau)\)。
- 自相关函数在 \(\tau = 0\) 时达到最大值，即 \(R_{xx}(0)\) 是随机过程的方差加上均值的平方。
步骤 2：自相关函数与功率谱密度的关系
平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换关系。具体来说，自相关函数 \(R_{xx}(\tau)\) 的傅里叶变换是功率谱密度 \(S_{xx}(f)\)，即：
\[ S_{xx}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau \]