设 X_1, X_2, ldots, X_(100) 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 PX=0 = PX=1 = (1)/(2)，Phi(x) 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 Psum_{i=1)^100 X_i leq 55} 的近似值为 ( )(A) 1 - Phi(1)(B) Phi(1)(C) 1 - Phi(0.2)(D) Phi(0.2)

我们来一步一步地解这道题。

题目回顾：

设 $ X_1, X_2, \ldots, X_{100} $ 是来自总体 $ X $ 的简单随机样本，其中
$P(X=0) = P(X=1) = \frac{1}{2}$
即每个 $ X_i $ 是一个取值为 0 或 1 的随机变量，且等概率。

我们要求：
$P\left( \sum_{i=1}^{100} X_i \leq 55 \right)$
的近似值，利用中心极限定理，并从选项中选择正确答案。

第一步：理解总体的分布

每个 $ X_i $ 是伯努利分布吗？
注意：标准的伯努利分布是 $ P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p $。
这里 $ p = \frac{1}{2} $，所以 $ X_i \sim \text{Bernoulli}\left(\frac{1}{2}\right) $

所以：

• 期望：
  $\mu = E[X_i] = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
• 方差：
  $\sigma^2 = \text{Var}(X_i) = p(1-p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

第二步：考虑样本和的分布

令：
$S_{100} = \sum_{i=1}^{100} X_i$

根据中心极限定理（CLT），当 $ n $ 足够大时，$ S_{100} $ 近似服从正态分布：

$S_{100} \approx N(n\mu, n\sigma^2) = N\left(100 \cdot \frac{1}{2}, 100 \cdot \frac{1}{4}\right) = N(50, 25)$

即均值为 50，方差为 25，标准差为 $ \sqrt{25} = 5 $

第三步：标准化求概率

我们要求：
$P(S_{100} \leq 55)$

使用正态近似，进行标准化：

$P(S_{100} \leq 55) \approx P\left( \frac{S_{100} - 50}{5} \leq \frac{55 - 50}{5} \right) = P(Z \leq 1)$
其中 $ Z \sim N(0,1) $，所以：
$P(S_{100} \leq 55) \approx \Phi(1)$

第四步：选择正确选项

选项为：

(A) $ 1 - \Phi(1) $
(B) $ \Phi(1) $
(C) $ 1 - \Phi(0.2) $
(D) $ \Phi(0.2) $

我们得到的结果是 $ \Phi(1) $，所以正确答案是：

$\boxed{\text{(B)}\ \Phi(1)}$

补充说明：是否需要连续性修正？

虽然 $ X_i $ 是离散的（伯努利），和 $ S_{100} $ 是整数取值，理论上可以使用连续性修正来提高近似精度。

即：
$P(S_{100} \leq 55) \approx P\left( Z \leq \frac{55 + 0.5 - 50}{5} \right) = P(Z \leq 1.1) = \Phi(1.1)$

但题目中说“利用中心极限定理可得”的近似值，并且选项中没有 $ \Phi(1.1) $，只有 $ \Phi(1) $ 和 $ \Phi(0.2) $ 等，说明题目不要求连续性修正。

而且 $ \frac{55 - 50}{5} = 1 $，正好对应 $ \Phi(1) $，所以出题意图明显是选 (B)。

最终答案：

$\boxed{\text{(B)}\ \Phi(1)}$