题目
2.设总体 sim f(x)=(a+1)(x)^a lt xlt 1,-|||-(1)求参数a的矩估计值;(2)求参数a的极大似然估计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求总体的一阶矩
总体 $X$ 的一阶矩（即期望）$E(X)$ 可以通过积分求得。对于给定的概率密度函数 $f(x)=(a+1)x^a$，$0$$E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot (a+1)x^a dx = (a+1) \int_{0}^{1} x^{a+1} dx$$
步骤 2：计算一阶矩
计算上述积分，我们得到：
$$E(X) = (a+1) \left[ \frac{x^{a+2}}{a+2} \right]_{0}^{1} = (a+1) \cdot \frac{1}{a+2} = \frac{a+1}{a+2}$$
步骤 3：求矩估计值
矩估计法是用样本矩来估计总体矩，即用样本均值 $\bar{x}$ 来估计总体均值 $E(X)$。因此，我们有：
$$\bar{x} = \frac{a+1}{a+2}$$
解这个方程，得到参数 $a$ 的矩估计值：
$$a = \frac{1}{\bar{x}} - 2$$
步骤 4：求极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数。对于给定的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数为：
$$L(a) = \prod_{i=1}^{n} (a+1)x_i^a = (a+1)^n \prod_{i=1}^{n} x_i^a$$
取对数似然函数：
$$\ln L(a) = n \ln(a+1) + a \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
对 $a$ 求导并令导数为零，得到：
$$\frac{n}{a+1} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$$
解这个方程，得到参数 $a$ 的极大似然估计值：
$$a = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i} - 1$$
总体 $X$ 的一阶矩（即期望）$E(X)$ 可以通过积分求得。对于给定的概率密度函数 $f(x)=(a+1)x^a$，$0
步骤 2：计算一阶矩
计算上述积分，我们得到：
$$E(X) = (a+1) \left[ \frac{x^{a+2}}{a+2} \right]_{0}^{1} = (a+1) \cdot \frac{1}{a+2} = \frac{a+1}{a+2}$$
步骤 3：求矩估计值
矩估计法是用样本矩来估计总体矩，即用样本均值 $\bar{x}$ 来估计总体均值 $E(X)$。因此，我们有：
$$\bar{x} = \frac{a+1}{a+2}$$
解这个方程，得到参数 $a$ 的矩估计值：
$$a = \frac{1}{\bar{x}} - 2$$
步骤 4：求极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数。对于给定的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数为：
$$L(a) = \prod_{i=1}^{n} (a+1)x_i^a = (a+1)^n \prod_{i=1}^{n} x_i^a$$
取对数似然函数：
$$\ln L(a) = n \ln(a+1) + a \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
对 $a$ 求导并令导数为零，得到：
$$\frac{n}{a+1} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$$
解这个方程，得到参数 $a$ 的极大似然估计值：
$$a = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i} - 1$$