题目

98.（5.0分）已知X，Y满足X-Y=1，则X与Y的相关系数等于第1空

题目解答

答案

为了确定给定 $X - Y = 1$ 的情况下 $X$ 和 $Y$ 的相关系数，我们需要理解变量 $X$ 和 $Y$ 之间的关系。方程 $X - Y = 1$ 可以重写为 $X = Y + 1$。这表明 $X$ 和 $Y$ 之间存在线性关系，其中 $X$ 总是比 $Y$ 大1个单位。两个变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $r$ 由以下公式给出： \[ r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \] 其中 $\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，$\sigma_X$ 是 $X$ 的标准差，$\sigma_Y$ 是 $Y$ 的标准差。由于 $X = Y + 1$，$X$ 和 $Y$ 的协方差为： \[ \text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y + 1, Y) = \text{Cov}(Y, Y) + \text{Cov}(1, Y) = \sigma_Y^2 + 0 = \sigma_Y^2 \] $X$ 的标准差为： \[ \sigma_X = \sigma_{Y + 1} = \sigma_Y \] 因为将常数加到变量上不会改变其标准差。因此，相关系数 $r$ 为： \[ r = \frac{\sigma_Y^2}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{\sigma_Y^2}{\sigma_Y \sigma_Y} = \frac{\sigma_Y^2}{\sigma_Y^2} = 1 \] 由于 $X$ 和 $Y$ 之间的关系是确定的线性关系（$X$ 总是比 $Y$ 大1个单位），相关系数为 $1$。因此，$X$ 和 $Y$ 的相关系数是 $\boxed{1}$。

解析

本题考查相关系数的计算以及对变量间线性关系的理解。解题思路是先根据已知条件得出$X$与$Y$的线性关系，再利用相关系数的公式$r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$进行计算，其中需要分别求出$X$与$Y$的协方差$\text{Cov}(X, Y)$、$X$的标准差$\sigma_X$和$Y$的标准差$\sigma_Y$。

由已知$X - Y = 1$，可得$X = Y + 1$，这表明$X$和$Y$之间存在线性关系。
计算$X$和$Y$的协方差$\text{Cov}(X, Y)$：
- 根据协方差的性质$\text{Cov}(a + b, c)=\text{Cov}(a, c)+\text{Cov}(b, c)$，对于$\text{Cov}(X, Y)=\text{Cov}(Y + 1, Y)$，有$\text{Cov}(Y + 1, Y)=\text{Cov}(Y, Y)+\text{Cov}(1, Y)$。
- 因为$\text{Cov}(Y, Y)=\sigma_Y^2$，常数与变量的协方差$\text{Cov}(1, Y) = 0$，所以$\text{Cov}(X, Y)=\sigma_Y^2$。
计算$X$的标准差$\sigma_X$：
- 根据标准差的性质，对于常数$a$和变量$Y$，$\sigma_{Y + a}=\sigma_Y$，所以$\sigma_X=\sigma_{Y + 1}=\sigma_Y$。
计算相关系数$r$：
- 将$\text{Cov}(X, Y)=\sigma_Y^2$，$\sigma_X=\sigma_Y$代入相关系数公式$r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$，可得$r=\frac{\sigma_Y^2}{\sigma_Y\times\sigma_Y}$。
- 化简$\frac{\sigma_Y^2}{\sigma_Y\times\sigma_Y}$，分子分母相同，结果为$1$，即$r = 1$。