题目
（第一空请填写小数）设X1,X2,X3是取自正态总体N(0,4)的简单随机样本, =a(({X)_(1)}^2+({X)_(2)}^2+({X)_(3)}^2),-|||-则当 a= __ 时,统计量X服从x ^2分布,其自由度为 __
（第一空请填写小数）
题目解答
答案
0.25
3
解析
步骤 1：确定正态分布的方差
给定的正态总体是N(0,4)，其中方差为4。这意味着每个样本的方差为4。
步骤 2：确定卡方分布的定义
卡方分布定义为独立标准正态随机变量的平方和。如果$Z_1, Z_2, ..., Z_n$是独立的标准正态随机变量，那么$Z_1^2 + Z_2^2 + ... + Z_n^2$服从自由度为n的卡方分布。
步骤 3：将给定的样本转换为标准正态分布
由于$X_1, X_2, X_3$是来自N(0,4)的样本，它们的方差为4。为了使$X_i^2$服从卡方分布，我们需要将$X_i$标准化，即$Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{4}} = \frac{X_i}{2}$。这样，$Z_i$服从标准正态分布N(0,1)。
步骤 4：计算卡方分布的系数
为了使$X=a(X_1^2 + X_2^2 + X_3^2)$服从卡方分布，我们需要将$X_i^2$转换为$Z_i^2$的形式。由于$Z_i = \frac{X_i}{2}$，则$Z_i^2 = \frac{X_i^2}{4}$。因此，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$需要乘以$\frac{1}{4}$才能转换为$Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2$的形式。所以，$a = \frac{1}{4} = 0.25$。
步骤 5：确定卡方分布的自由度
由于$X_1, X_2, X_3$是三个独立的样本，因此$X_1^2, X_2^2, X_3^2$的和服从自由度为3的卡方分布。
给定的正态总体是N(0,4)，其中方差为4。这意味着每个样本的方差为4。
步骤 2：确定卡方分布的定义
卡方分布定义为独立标准正态随机变量的平方和。如果$Z_1, Z_2, ..., Z_n$是独立的标准正态随机变量，那么$Z_1^2 + Z_2^2 + ... + Z_n^2$服从自由度为n的卡方分布。
步骤 3：将给定的样本转换为标准正态分布
由于$X_1, X_2, X_3$是来自N(0,4)的样本，它们的方差为4。为了使$X_i^2$服从卡方分布，我们需要将$X_i$标准化，即$Z_i = \frac{X_i}{\sqrt{4}} = \frac{X_i}{2}$。这样，$Z_i$服从标准正态分布N(0,1)。
步骤 4：计算卡方分布的系数
为了使$X=a(X_1^2 + X_2^2 + X_3^2)$服从卡方分布，我们需要将$X_i^2$转换为$Z_i^2$的形式。由于$Z_i = \frac{X_i}{2}$，则$Z_i^2 = \frac{X_i^2}{4}$。因此，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$需要乘以$\frac{1}{4}$才能转换为$Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2$的形式。所以，$a = \frac{1}{4} = 0.25$。
步骤 5：确定卡方分布的自由度
由于$X_1, X_2, X_3$是三个独立的样本，因此$X_1^2, X_2^2, X_3^2$的和服从自由度为3的卡方分布。